ExercicePremière, chapitre 1 — Second degré · Forme canonique, sommet et variations

Exercice 6

Calcul

Soit $f$ une fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , où $a \neq 0$ . Sa courbe représentative est donnée ci-dessous, ainsi que trois de ses points $A$ , $B$ et $C$ .

1. À l'aide des coordonnées du point $A$ , déterminer la valeur de $c$ .

2. À l'aide des coordonnées des points $B$ et $C$ , déterminer les valeurs de $a$ et $b$ .

3. En déduire l'expression de $f(x)$ .

4. Vérifier le résultat obtenu en calculant les coordonnées du sommet de la parabole.

Corrigé

1. Le point $A$ a pour abscisse $0$ , et $f(0)=a \times 0 + b \times 0 + c = c$ . On lit $A(0\,;1)$ , donc : $\boxed{c=1}$

2. On lit $B(1\,;-1)$ et $C(3\,;1)$ , ce qui donne $f(1)=-1$ et $f(3)=1$ : $\left\{\begin{array}{l} a+b+1=-1 \\ 9a+3b+1=1 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} a+b=-2 \\ 9a+3b=0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} a+b=-2 \\ 3a+b=0 \end{array}\right.$ En soustrayant la première ligne à la seconde, il vient $2a=2$ , puis $b=-3a=-3$ : $\boxed{a=1 \qquad\text{et}\qquad b=-3}$

3. On reporte les trois valeurs trouvées : $\boxed{f(x)=x^{2}-3x+1}$

4. On calcule les coordonnées du sommet : $\alpha = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2} \qquad\text{et}\qquad \beta = f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4}-\frac{9}{2}+1 = -\frac{5}{4}$

\boxed{\text{Le sommet est le point } \left(\dfrac{3}{2}\,;-\dfrac{5}{4}\right), \text{ ce que confirme la lecture du graphique.}}

Énoncé PDF, p. 2 Corrigé PDF, p. 4 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes

Thèmes

trinôme du second degré, parabole et sommet

Notions

anneau de polynômes