Exercice 7

1. On lit sur le graphique :

2. La forme canonique s'écrit $a(x-\alpha)^{2}+\beta$ où $(\alpha\,;\beta)$ est le sommet. Le second point permet de trouver $a$.

Pour $f$ : $f(x)=a(x+1)^{2}+1$ et $f(0)=0$ donne $a+1=0$, donc $a=-1$.

Pour $g$ : $g(x)=a(x-1)^{2}+1$ et $g(0)=2$ donne $a+1=2$, donc $a=1$.

Pour $h$ : $h(x)=a(x+4)^{2}-2$ et $h(-2)=0$ donne $4a-2=0$, donc $a=\dfrac{1}{2}$. $$\boxed{f(x)=-(x+1)^{2}+1 \quad;\quad g(x)=(x-1)^{2}+1 \quad;\quad h(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)^{2}-2}$$

3. On développe chacune de ces trois expressions : $$\boxed{f(x)=-x^{2}-2x \quad;\quad g(x)=x^{2}-2x+2 \quad;\quad h(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+4x+6}$$

4. On calcule les trois discriminants : $$\Delta_{f} = (-2)^{2}-4 \times (-1) \times 0 = 4 \qquad \Delta_{g} = (-2)^{2}-4 \times 1 \times 2 = -4$$

$$\boxed{\begin{array}{l} \Delta_{f} > 0 \text{ et } \Delta_{h} > 0 \text{ : deux points d'intersection avec l'axe des abscisses,} \\[1mm] \Delta_{g} < 0 \text{ : aucun point d'intersection.} \end{array}}$$ C'est bien ce que montre le graphique : $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe en $-2$ et $0$, $\mathcal{C}_{h}$ en $-6$ et $-2$, tandis que $\mathcal{C}_{g}$ reste entièrement au-dessus.