Exercice 8

On calcule à chaque fois le discriminant. Lorsque $\Delta>0$, on applique la proposition 3 du cours : $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

1. $\Delta = 2^{2}-4 \times 1 \times (-3) = 4+12 = 16 > 0$ et $\sqrt{16}=4$, donc : $$x_{1}=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$$

2. $\Delta = (-6)^{2}-4 \times 3 \times 3 = 36-36 = 0$, donc l'unique solution vaut : $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{6}=1 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\mathcal{S}=\{1\}}$$

3. $\Delta = (-1)^{2}-4 \times 1 \times (-20) = 1+80 = 81 > 0$ et $\sqrt{81}=9$, donc : $$x_{1}=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=-4 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$

4. $\Delta = (-4)^{2}-4 \times 11 \times 2 = 16-88 = -72 < 0$ : $\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$

5. $\Delta = (-16)^{2}-4 \times 2 \times 24 = 256-192 = 64 > 0$ et $\sqrt{64}=8$, donc : $$x_{1}=\frac{16-8}{4}=\frac{8}{4}=2 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{16+8}{4}=\frac{24}{4}=6$$

6. $\Delta = (-3)^{2}-4 \times 3 \times (-6) = 9+72 = 81 > 0$ et $\sqrt{81}=9$, donc : $$x_{1}=\frac{3-9}{6}=\frac{-6}{6}=-1 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{3+9}{6}=\frac{12}{6}=2$$

7. $\Delta = \big(-\sqrt{3}\big)^{2}-4 \times 1 \times 4 = 3-16 = -13 < 0$ : $\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$

8. $\Delta = \big(4\sqrt{2}\big)^{2}-4 \times 1 \times 6 = 32-24 = 8 > 0$ et $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, donc : $$x_{1}=\frac{-4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=\frac{-6\sqrt{2}}{2}=-3\sqrt{2} \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{-4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$

9. $\Delta = (-9)^{2}-4 \times 3 \times (-12) = 81+144 = 225 > 0$ et $\sqrt{225}=15$, donc : $$x_{1}=\frac{9-15}{6}=\frac{-6}{6}=-1 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{9+15}{6}=\frac{24}{6}=4$$

10. $\Delta = (-2)^{2}-4 \times 2 \times \dfrac{1}{2} = 4-4 = 0$, donc l'unique solution vaut : $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\mathcal{S}=\left\{\frac{1}{2}\right\}}$$

11. On développe d'abord : $x^{2}-x=4x+14$, soit $x^{2}-5x-14=0$. Alors $\Delta = 25+56 = 81 > 0$ et $\sqrt{81}=9$, donc : $$x_{1}=\frac{5-9}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$$

12. On développe : $3x^{2}-3x=9x-9$, soit $3x^{2}-12x+9=0$, ou encore $x^{2}-4x+3=0$ après division par $3$. Alors $\Delta = 16-12 = 4 > 0$ et $\sqrt{4}=2$, donc : $$x_{1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Piège de la question 12 : on pourrait être tenté de simplifier par $(x-1)$ des deux côtés, ce qui ferait perdre la solution $x=1$. Il faut tout ramener dans le membre de gauche.