Exercice 9

1. Pour $f(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+x-\dfrac{3}{2}$, on a $a=\dfrac{1}{2}$, $b=1$ et $c=-\dfrac{3}{2}$, donc : $$\Delta = 1-4 \times \frac{1}{2} \times \left(-\frac{3}{2}\right) = 1+3 = 4 > 0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{4}=2$$ Comme $2a=1$, il vient : $$x_{1}=\frac{-1-2}{1}=-3 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{-1+2}{1}=1$$

2. Pour $f(x)=-x^{2}+2x-5$, on a $\Delta = 4-20 = -16 < 0$ : $$\boxed{\text{Aucune racine} \qquad;\qquad \text{Sommet : } (1\,;-4)}$$

3. Pour $f(x)=2x^{2}+12x+18$, on a $\Delta = 144-144 = 0$, donc une racine double $x_{0}=-\dfrac{12}{4}=-3$ : $$\boxed{\text{Racine double : } -3 \qquad;\qquad \text{Sommet : } (-3\,;0)}$$ On remarque que $2x^{2}+12x+18 = 2(x+3)^{2}$ : le sommet appartient à l'axe des abscisses, ce qui est toujours le cas lorsque $\Delta=0$.

Les trois courbes sont représentées ci-dessous.

Le sommet est repéré en violet sur chacune des trois paraboles.