Exercice 10

1. (a) En posant $X=x^{2}$, on a $x^{4}=\big(x^{2}\big)^{2}=X^{2}$, donc l'équation devient : $$\boxed{X^{2}-6X+8=0}$$

(b) Le discriminant vaut $\Delta = (-6)^{2}-4 \times 1 \times 8 = 36-32 = 4 > 0$ et $\sqrt{4}=2$, donc : $$X_{1}=\frac{6-2}{2}=2 \qquad\text{et}\qquad X_{2}=\frac{6+2}{2}=4$$

(c) Il reste à revenir à $x$ en résolvant $x^{2}=X$ pour chacune des deux valeurs : $$x^{2}=2 \iff x=-\sqrt{2} \;\text{ ou }\; x=\sqrt{2} \qquad\text{et}\qquad x^{2}=4 \iff x=-2 \;\text{ ou }\; x=2$$

2. (a) On pose $X=x^{2}$, ce qui donne $X^{2}-2X-8=0$. Le discriminant vaut $\Delta = 4+32 = 36 > 0$ et $\sqrt{36}=6$, donc : $$X_{1}=\frac{2-6}{2}=-2 \qquad\text{et}\qquad X_{2}=\frac{2+6}{2}=4$$

Or $X=x^{2}$ est nécessairement positif : la valeur $X=-2$ est donc à rejeter. Il reste $x^{2}=4$ : $$\boxed{\mathcal{S}=\{-2\;;\;2\}}$$

Piège : une équation bicarrée peut avoir deux solutions en $X$ et seulement deux solutions en $x$. Il faut toujours vérifier le signe des valeurs de $X$ obtenues.

(b) On pose $X=x^{2}$, ce qui donne $X^{2}+X+1=0$. Le discriminant vaut $\Delta = 1-4 = -3 < 0$ : cette équation n'a aucune solution, donc aucune valeur de $X$ ne convient. $$\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$$