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ExercicePremière, chapitre 1 — Second degré · Équations du second degré

Exercice 11

Calcul

Soit mm un réel et ff la fonction définie sur ℝ\mathbb{R} par f(x)=x2−(m+1)x+4f(x)=x^{2}-(m+1)x+4.

1. Pour quelle(s) valeur(s) de mm la fonction ff admet-elle une unique racine ? Calculer alors cette racine.

2. Pour quelle(s) valeur(s) de mm la fonction ff n'admet-elle aucune racine ?

Corrigé

Ici a=1a=1, b=−(m+1)b=-(m+1) et c=4c=4, donc : Δ=(m+1)2−16\Delta = (m+1)^{2}-16

1. La fonction ff admet une unique racine si et seulement si Δ=0\Delta=0 : (m+1)2=16  ⟺  m+1=4   ou   m+1=−4  ⟺  m=3oum=−5(m+1)^{2}=16 \iff m+1=4 \;\text{ ou }\; m+1=-4 \iff \boxed{m=3 \quad\text{ou}\quad m=-5} La racine vaut alors x0=−b2a=m+12x_{0}=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{m+1}{2} : Pour m=3  :  x0=2et pour m=−5  :  x0=−2\boxed{\text{Pour } m=3 \;:\; x_{0}=2 \qquad\text{et pour } m=-5 \;:\; x_{0}=-2}

2. La fonction ff n'admet aucune racine si et seulement si Δ<0\Delta<0 : (m+1)2<16  ⟺  −4<m+1<4  ⟺  m∈  ]−5 ;3[(m+1)^{2}<16 \iff -4 < m+1 < 4 \iff \boxed{m \in \;]-5\,;3[}

Énoncé PDF, p. 4Corrigé PDF, p. 8Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Racines et multiplicitésRacine carrée d'un réel positif

Thèmes

trinôme du second degré, équation du second degré, paramètre

Notions

anneau de polynômes

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