Exercice 12

Attention : le coefficient de $x^{2}$ dépend de $m$. Il faut donc commencer par examiner le cas où il s'annule.

Premier cas : $m=-8$. L'équation devient $-8x+1=0$, qui est du premier degré et admet l'unique solution $x=\dfrac{1}{8}$. La valeur $m=-8$ convient donc.

Second cas : $m \neq -8$. L'équation est alors du second degré, et elle admet une unique solution si et seulement si son discriminant est nul : $$\Delta = m^{2}-4(m+8) = m^{2}-4m-32$$ On résout $m^{2}-4m-32=0$, dont le discriminant vaut $16+128=144>0$, avec $\sqrt{144}=12$ : $$m_{1}=\frac{4-12}{2}=-4 \qquad\text{et}\qquad m_{2}=\frac{4+12}{2}=8$$

$$\boxed{\mathcal{S}=\{-8\;;\;-4\;;\;8\}}$$ Piège : oublier le cas $m=-8$ fait perdre une valeur. Une équation « $ax^{2}+bx+c=0$ » n'est du second degré que si $a \neq 0$.