Exercice 13

Ici encore, le coefficient de $x^{2}$ vaut $m$ : il faut commencer par le cas $m=0$.

1. Si $m=0$, l'équation $f(x)=0$ devient $4x-2=0$, du premier degré, d'unique solution $x=\dfrac{1}{2}$.

Si $m \neq 0$, on calcule le discriminant : $$\Delta = 16-4 \times m \times 2(m-1) = 16-8m^{2}+8m$$ On cherche $\Delta=0$, c'est-à-dire $-8m^{2}+8m+16=0$, ou encore $m^{2}-m-2=0$ après division par $-8$. Le discriminant de cette dernière équation vaut $1+8=9>0$, avec $\sqrt{9}=3$ : $$m_{1}=\frac{1-3}{2}=-1 \qquad\text{et}\qquad m_{2}=\frac{1+3}{2}=2$$ La racine vaut alors $x_{0}=-\dfrac{4}{2m}=-\dfrac{2}{m}$. $$\boxed{\begin{array}{l} m=-1 \;:\; x_{0}=2 \qquad m=0 \;:\; x_{0}=\dfrac{1}{2} \qquad m=2 \;:\; x_{0}=-1 \end{array}}$$

2. Il faut $m \neq 0$ et $\Delta>0$, c'est-à-dire $m^{2}-m-2<0$. Le trinôme $m^{2}-m-2$ a pour racines $-1$ et $2$, et son coefficient dominant est positif : il est donc négatif entre ses racines. $$\boxed{m \in \;]-1\,;0[ \;\cup\; ]0\,;2[}$$

3. Pour que $f(x)<0$ pour tout réel $x$, il faut que $f$ soit un trinôme ($m \neq 0$) de coefficient dominant négatif et sans racine, c'est-à-dire : $$m<0 \qquad\text{et}\qquad \Delta<0$$ Or $\Delta<0$ équivaut à $m^{2}-m-2>0$, soit $m<-1$ ou $m>2$. En croisant avec $m<0$ : $$\boxed{m \in \;]-\infty\,;-1[}$$