Exercice 14

1. (a) On calcule $f(1) = 1-2-5+6 = 0$ : $$\boxed{1 \text{ est bien solution de } f(x)=0.}$$

(b) On développe le membre de droite : $$(x-1)(ax^{2}+bx+c) = ax^{3}+bx^{2}+cx-ax^{2}-bx-c = ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c$$ En identifiant les coefficients avec $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ : $$\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b-a=-2 \\ c-b=-5 \\ -c=6 \end{array}\right. \iff \boxed{a=1 \quad;\quad b=-1 \quad;\quad c=-6}$$ On vérifie la cohérence des deux dernières lignes : $c-b=-6-(-1)=-5$ ✓

(c) On résout $x^{2}-x-6=0$, dont le discriminant vaut $\Delta = 1+24 = 25 > 0$, avec $\sqrt{25}=5$ : $$x_{1}=\frac{1-5}{2}=-2 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{1+5}{2}=3$$

(d) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $$\boxed{\mathcal{S}=\{-2\;;\;1\;;\;3\}}$$

2. On vérifie d'abord que $3$ est solution : $$2 \times 27 - 20 \times 9 - 618 \times 3 + 1980 = 54-180-1854+1980 = 0$$ On factorise ensuite par $(x-3)$ en posant $2x^{3}-20x^{2}-618x+1980 = (x-3)(ax^{2}+bx+c)$. En développant, on obtient $ax^{3}+(b-3a)x^{2}+(c-3b)x-3c$, d'où : $$\left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b-3a=-20 \\ c-3b=-618 \\ -3c=1980 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b=-14 \\ c=-660 \end{array}\right.$$ Il reste à résoudre $2x^{2}-14x-660=0$, soit $x^{2}-7x-330=0$ après division par $2$. Son discriminant vaut $\Delta = 49+1320 = 1369 > 0$, et $\sqrt{1369}=37$, donc : $$x_{1}=\frac{7-37}{2}=\frac{-30}{2}=-15 \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{7+37}{2}=\frac{44}{2}=22$$