ExercicePremière, chapitre 1 — Second degré · Somme, produit et factorisation

Exercice 15

Calcul

Trouver une racine évidente de chacune des équations suivantes, puis en déduire l'autre solution sans calculer le discriminant.

1. $x^{2}-7x+6=0$

2. $-3x^{2}+2x+5=0$

3. $x^{2}+3x-10=0$

4. $x^{2}-\sqrt{2}x-4=0$

5. $x^{2}+x-6=0$

6. $x^{2}+5x+4=0$

7. $2x^{2}+\sqrt{5}x-15=0$

8. $x^{2}-8x+15=0$

Corrigé

On utilise la proposition 4 du cours : $x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$ , ce qui donne $x_{2}$ dès que $x_{1}$ est connue et non nulle.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & \text{Racine évidente }x_{1} & \text{Vérification} & \boldsymbol{\dfrac{c}{a}} & \text{Autre racine }x_{2} \\ \hline \text{1.} & 1 & 1-7+6=0 & 6 & 6 \\ \hline \text{2.} & -1 & -3-2+5=0 & -\dfrac{5}{3} & \dfrac{5}{3} \\ \hline \text{3.} & 2 & 4+6-10=0 & -10 & -5 \\ \hline \text{4.} & -\sqrt{2} & 2+2-4=0 & -4 & 2\sqrt{2} \\ \hline \text{5.} & 2 & 4+2-6=0 & -6 & -3 \\ \hline \text{6.} & -1 & 1-5+4=0 & 4 & -4 \\ \hline \text{7.} & \sqrt{5} & 10+5-15=0 & -\dfrac{15}{2} & -\dfrac{3\sqrt{5}}{2} \\ \hline \text{8.} & 3 & 9-24+15=0 & 15 & 5 \\ \hline \end{array}

Détaillons la question 4. : on a $x_{1}x_{2}=-4$ avec $x_{1}=-\sqrt{2}$ , donc : $x_{2} = \frac{-4}{-\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ et la question 7. : $x_{1}x_{2}=-\dfrac{15}{2}$ avec $x_{1}=\sqrt{5}$ , donc : $x_{2} = \frac{-15}{2\sqrt{5}} = \frac{-15\sqrt{5}}{10} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 11 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Racines et multiplicités Racine carrée d'un réel positif

Thèmes

trinôme du second degré, discriminant, équation du second degré

Notions

anneau de polynômes