Exercice 25

Notons $x$ le côté de la piscine, en mètres, avec $x>0$. On exprime chacune des trois dépenses.

• La bâche recouvre un carré d'aire $x^{2}$, donc elle coûte $20x^{2}$ euros.

• La clôture est placée à $2$ mètres du bord : elle forme un carré de côté $x+2+2=x+4$, donc de périmètre $4(x+4)$. Elle coûte $100 \times 4(x+4) = 400x+1\,600$ euros.

• L'échelle coûte $150$ euros.

Le total vaut $8\,155$ euros, ce qui donne : $$20x^{2}+400x+1\,600+150 = 8\,155 \iff 20x^{2}+400x-6\,405=0 \iff 4x^{2}+80x-1\,281=0$$ Le discriminant vaut : $$\Delta = 80^{2}-4 \times 4 \times (-1\,281) = 6\,400+20\,496 = 26\,896$$ et $\sqrt{26\,896}=164$, d'où : $$x = \frac{-80-164}{8} = -30{,}5 \qquad\text{ou}\qquad x = \frac{-80+164}{8} = 10{,}5$$ Une longueur étant positive, la première valeur est à rejeter. $$\boxed{\text{La piscine mesure } 10{,}5 \text{ mètres de côté.}}$$ Vérification : $20 \times 10{,}5^{2} = 2\,205$, $400 \times 10{,}5+1\,600 = 5\,800$, et $2\,205+5\,800+150 = 8\,155$ ✓

Piège : la clôture entoure un carré de côté $x+4$ et non $x+2$, puisqu'on ajoute $2$ mètres de chaque côté.