Exercice 12

On utilise $\left(u^{n}\right)'=n\,u'\,u^{\,n-1}$. Toutes les fonctions polynomiales sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

a) $u(x)=3x-1$, $u'(x)=3$, $n=4$ : $$f'(x)=4\times 3\times(3x-1)^{3}=\boxed{12(3x-1)^{3}} \qquad (\text{sur } \mathbb{R})$$

b) $u(x)=x^{2}+1$, $u'(x)=2x$, $n=3$ : $$f'(x)=3\times 2x\times(x^{2}+1)^{2}=\boxed{6x(x^{2}+1)^{2}} \qquad (\text{sur } \mathbb{R})$$

c) $u(x)=-2x+3$, $u'(x)=-2$, $n=4$ : $$f'(x)=4\times(-2)\times(-2x+3)^{3}=\boxed{-8(-2x+3)^{3}} \qquad (\text{sur } \mathbb{R})$$

d) $u(x)=3x^{3}+1$, $u'(x)=9x^{2}$, $n=2$ : $$f'(x)=2\times 9x^{2}\times(3x^{3}+1)=\boxed{18x^{2}(3x^{3}+1)} \qquad (\text{sur } \mathbb{R})$$

e) $u(x)=x^{2}-4x$, $u'(x)=2x-4$, $n=5$ : $$f'(x)=5(2x-4)(x^{2}-4x)^{4}=\boxed{10(x-2)(x^{2}-4x)^{4}} \qquad (\text{sur } \mathbb{R})$$

f) $u(x)=x^{2}+x+1$, $u'(x)=2x+1$, $n=2$ : $$f'(x)=\boxed{2(2x+1)(x^{2}+x+1)} \qquad (\text{sur } \mathbb{R})$$

g) $f(x)=\dfrac{1}{(2x-1)^{2}}=(2x-1)^{-2}$, avec $u(x)=2x-1$, $u'(x)=2$ et $n=-2$ : $$f'(x)=-2\times 2\times(2x-1)^{-3}=\boxed{-\dfrac{4}{(2x-1)^{3}}} \qquad \left(\text{sur } \mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{1}{2}\right\}\right)$$

Vérification par la règle de l'inverse. On pose $v(x)=(2x-1)^{2}$, donc $v'(x)=2\times 2\times(2x-1)=4(2x-1)$, d'où $$f'(x)=-\dfrac{v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}=-\dfrac{4(2x-1)}{(2x-1)^{4}} =-\dfrac{4}{(2x-1)^{3}}$$ Les deux méthodes concordent.

h) $f(x)=(2x+1)^{-3}$, avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$ et $n=-3$ : $$f'(x)=-3\times 2\times(2x+1)^{-4}=\boxed{-\dfrac{6}{(2x+1)^{4}}} \qquad \left(\text{sur } \mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac{1}{2}\right\}\right)$$