ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Fonction dérivée : calculs

Exercice 11

Calcul

Chacune des fonctions suivantes est un quotient. Après avoir posé $u$ et $v$ , donner la fonction dérivée sous forme simplifiée, en précisant l'ensemble de dérivabilité.

a) $f(x)=\dfrac{1-2x}{x-2}$

b) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$

c) $f(x)=\dfrac{2-x^{2}}{2+x^{2}}$

d) $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+8}{2x-5}$

e) $f(x)=\dfrac{3x+1}{x^{2}+1}$

f) $f(x)=\dfrac{x^{2}+x}{x-1}$

g) $f(x)=\dfrac{x+3}{2x-1}$

h) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x}$

Corrigé

On utilise la formule du quotient : $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}$ . Attention à l'ordre des deux termes du numérateur : ici c'est une soustraction, et elle n'est pas commutative.

a) $f(x)=\dfrac{1-2x}{x-2}$ , dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . On pose :

\left\{\begin{array}{l} u(x)=1-2x \\[2mm] v(x)=x-2 \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=-2 \\[2mm] v'(x)=1 \end{array}\right.

f'(x)=\dfrac{-2(x-2)-(1-2x)\times 1}{(x-2)^{2}} =\dfrac{-2x+4-1+2x}{(x-2)^{2}}=\boxed{\dfrac{3}{(x-2)^{2}}}

b) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$ , dérivable sur $]0\,;+\infty[$ . On pose :

\left\{\begin{array}{l} u(x)=\sqrt{x} \\[2mm] v(x)=x+1 \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\[2mm] v'(x)=1 \end{array}\right.

f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^{2}} =\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^{2}} =\boxed{\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{2}}}

c) $f(x)=\dfrac{2-x^{2}}{2+x^{2}}$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ . On pose :

\left\{\begin{array}{l} u(x)=2-x^{2} \\[2mm] v(x)=2+x^{2} \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=-2x \\[2mm] v'(x)=2x \end{array}\right.

f'(x)=\dfrac{-2x(2+x^{2})-(2-x^{2})\times 2x}{(2+x^{2})^{2}} =\dfrac{-4x-2x^{3}-4x+2x^{3}}{(2+x^{2})^{2}}=\boxed{\dfrac{-8x}{(2+x^{2})^{2}}}

d) $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+8}{2x-5}$ , dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{5}{2}\right\}$ . On pose :

\left\{\begin{array}{l} u(x)=x^{2}-4x+8 \\[2mm] v(x)=2x-5 \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=2x-4 \\[2mm] v'(x)=2 \end{array}\right.

f'(x)=\dfrac{(2x-4)(2x-5)-2(x^{2}-4x+8)}{(2x-5)^{2}} =\dfrac{4x^{2}-18x+20-2x^{2}+8x-16}{(2x-5)^{2}}

=\boxed{\dfrac{2x^{2}-10x+4}{(2x-5)^{2}}=\dfrac{2(x^{2}-5x+2)}{(2x-5)^{2}}}

e) $f(x)=\dfrac{3x+1}{x^{2}+1}$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ . On pose :

\left\{\begin{array}{l} u(x)=3x+1 \\[2mm] v(x)=x^{2}+1 \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=3 \\[2mm] v'(x)=2x \end{array}\right.

f'(x)=\dfrac{3(x^{2}+1)-(3x+1)\times 2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\dfrac{3x^{2}+3-6x^{2}-2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\boxed{\dfrac{-3x^{2}-2x+3}{(x^{2}+1)^{2}}}

f) $f(x)=\dfrac{x^{2}+x}{x-1}$ , dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . On pose :

\left\{\begin{array}{l} u(x)=x^{2}+x \\[2mm] v(x)=x-1 \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=2x+1 \\[2mm] v'(x)=1 \end{array}\right.

f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x-1)-(x^{2}+x)}{(x-1)^{2}} =\dfrac{2x^{2}-x-1-x^{2}-x}{(x-1)^{2}}=\boxed{\dfrac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}}}

g) $f(x)=\dfrac{x+3}{2x-1}$ , dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}$ . On pose :

\left\{\begin{array}{l} u(x)=x+3 \\[2mm] v(x)=2x-1 \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=1 \\[2mm] v'(x)=2 \end{array}\right.

f'(x)=\dfrac{1\times(2x-1)-(x+3)\times 2}{(2x-1)^{2}} =\dfrac{2x-1-2x-6}{(2x-1)^{2}}=\boxed{\dfrac{-7}{(2x-1)^{2}}}

h) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x}$ , dérivable sur $]0\,;+\infty[$ . On pose :

\left\{\begin{array}{l} u(x)=\sqrt{x}+1 \\[2mm] v(x)=x \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\[2mm] v'(x)=1 \end{array}\right.

$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times x-\left(\sqrt{x}+1\right)}{x^{2}} =\dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{2}-\sqrt{x}-1}{x^{2}} =\dfrac{-\dfrac{\sqrt{x}}{2}-1}{x^{2}}=\boxed{-\dfrac{\sqrt{x}+2}{2x^{2}}}$ en utilisant $\dfrac{x}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{2}$ .

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Dans l'édifice

Opérations sur les fonctions dérivables

Thèmes

fonction dérivée, produit et quotient, racine carrée

Notions

dérivable