ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Fonction dérivée : calculs

Exercice 10

Calcul

Chacune des fonctions suivantes est l'inverse d'une fonction. Après avoir posé vv, donner la fonction dérivée en précisant l'ensemble de dérivabilité.

a) f(x)=23x−5f(x)=\dfrac{2}{3x-5}

b) f(x)=1x2+1f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}

c) f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}

d) f(x)=−3x2−4f(x)=\dfrac{-3}{x^{2}-4}

e) f(x)=12x−1f(x)=\dfrac{1}{2x-1}

f) f(x)=5x3+xf(x)=\dfrac{5}{x^{3}+x}

Corrigé

On utilise la formule de l'inverse : (1v)′=−v′v2\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^{2}}.

a) f(x)=2×13x−5f(x)=2\times\dfrac{1}{3x-5}, dérivable sur ℝ∖{53}\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{5}{3}\right\}.

v(x)=3x−5ce qui donne :v′(x)=3v(x)=3x-5 \qquad\text{ce qui donne :}\qquad v'(x)=3
f′(x)=2×(−3(3x−5)2)=−6(3x−5)2f'(x)=2\times\left(-\dfrac{3}{(3x-5)^{2}}\right)=\boxed{-\dfrac{6}{(3x-5)^{2}}}

b) f(x)=1x2+1f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}, dérivable sur ℝ\mathbb{R} car x2+1⩾1>0x^{2}+1\geqslant 1>0.

v(x)=x2+1ce qui donne :v′(x)=2xv(x)=x^{2}+1 \qquad\text{ce qui donne :}\qquad v'(x)=2x
f′(x)=−2x(x2+1)2\boxed{f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}}

c) f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, dérivable sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.

v(x)=xce qui donne :v′(x)=12xv(x)=\sqrt{x} \qquad\text{ce qui donne :}\qquad v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
f′(x)=−12x(x)2=−12x×x=−12xxf'(x)=-\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x}\right)^{2}} =-\dfrac{1}{2\sqrt{x}\times x}=\boxed{-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}}

d) f(x)=−3×1x2−4f(x)=-3\times\dfrac{1}{x^{2}-4}, dérivable sur ℝ∖{−2 ;2}\mathbb{R}\setminus\{-2\,;2\}.

v(x)=x2−4ce qui donne :v′(x)=2xv(x)=x^{2}-4 \qquad\text{ce qui donne :}\qquad v'(x)=2x
f′(x)=−3×(−2x(x2−4)2)=6x(x2−4)2f'(x)=-3\times\left(-\dfrac{2x}{(x^{2}-4)^{2}}\right)=\boxed{\dfrac{6x}{(x^{2}-4)^{2}}}

e) f(x)=12x−1f(x)=\dfrac{1}{2x-1}, dérivable sur ℝ∖{12}\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}.

v(x)=2x−1ce qui donne :v′(x)=2v(x)=2x-1 \qquad\text{ce qui donne :}\qquad v'(x)=2
f′(x)=−2(2x−1)2\boxed{f'(x)=-\dfrac{2}{(2x-1)^{2}}}

f) f(x)=5×1x3+xf(x)=5\times\dfrac{1}{x^{3}+x}. Comme x3+x=x(x2+1)x^{3}+x=x(x^{2}+1) ne s'annule qu'en 00, ff est dérivable sur ℝ∗\mathbb{R}^{*}.

v(x)=x3+xce qui donne :v′(x)=3x2+1v(x)=x^{3}+x \qquad\text{ce qui donne :}\qquad v'(x)=3x^{2}+1
f′(x)=−5(3x2+1)(x3+x)2\boxed{f'(x)=-\dfrac{5(3x^{2}+1)}{(x^{3}+x)^{2}}}
Énoncé PDF, p. 4Corrigé PDF, p. 7Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Opérations sur les fonctions dérivables

Thèmes

fonction dérivée, racine carrée

Notions

dérivable

Ouvrir dans l'atlas interactif →