Exercice 9

On utilise la formule du produit : $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.

a) $f(x)=(2x-1)(x+3)$, dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose :

$$f'(x)=2\times(x+3)+(2x-1)\times 1=2x+6+2x-1=\boxed{4x+5}$$ Vérification en développant d'abord : $f(x)=2x^{2}+5x-3$, donc $f'(x)=4x+5$.

b) $f(x)=x\sqrt{x}$, définie sur $[0\,;+\infty[$ et dérivable sur $]0\,;+\infty[$. On pose :

$$f'(x)=1\times\sqrt{x}+x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}} =\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}} =\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}} =\boxed{\dfrac{3x}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{x}}{2}}$$ en utilisant $\sqrt{x}=\dfrac{x}{\sqrt{x}}$ pour réduire au même dénominateur.

c) $f(x)=2\sqrt{x}\,(x^{2}+3x)$, dérivable sur $]0\,;+\infty[$. On pose :

$$=\dfrac{x^{2}+3x+4x^{2}+6x}{\sqrt{x}}=\boxed{\dfrac{5x^{2}+9x}{\sqrt{x}} =\sqrt{x}\,(5x+9)}$$ en ayant écrit $2\sqrt{x}=\dfrac{2x}{\sqrt{x}}$.

d) $f(x)=(x^{2}+1)(\sqrt{x}-2x)$, dérivable sur $]0\,;+\infty[$. On pose :

e) $f(x)=(3x-2)(x^{2}+x+1)$, dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose :

f) $f(x)=(2x-1)(2x-1)$, dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose :

$$f'(x)=2(2x-1)+(2x-1)\times 2=4(2x-1)=\boxed{8x-4}$$ Vérification en développant d'abord : $f(x)=4x^{2}-4x+1$, donc $f'(x)=8x-4$.

g) $f(x)=\sqrt{x}\,(x-4)$, dérivable sur $]0\,;+\infty[$. On pose :

h) $f(x)=(x^{2}+2)\times\dfrac{1}{x}$, dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$. On pose :

$$f'(x)=2x\times\dfrac{1}{x}+(x^{2}+2)\times\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right) =2-\dfrac{x^{2}+2}{x^{2}}=2-1-\dfrac{2}{x^{2}}=\boxed{1-\dfrac{2}{x^{2}}}$$ Vérification : $f(x)=x+\dfrac{2}{x}$, donc $f'(x)=1-\dfrac{2}{x^{2}}$.