Exercice 8

On rappelle les ensembles du cours : $\dfrac{1}{x^{n}}$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$, tandis que $\sqrt{x}$ est définie sur $[0\,;+\infty[$ mais dérivable seulement sur $]0\,;+\infty[$.

a) $D_f=D_{f'}=\mathbb{R}^{*}$ et $\boxed{f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}-2}$

b) $D_f=[0\,;+\infty[$, $D_{f'}=]0\,;+\infty[$ et $\boxed{f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}+x^{2}}$

c) $D_f=D_{f'}=\mathbb{R}^{*}$. On applique $\left(\dfrac{1}{x^{n}}\right)'=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ avec $n=3$ : $$f'(x)=-4\times\left(-\dfrac{3}{x^{4}}\right)=\boxed{\dfrac{12}{x^{4}}}$$

d) $D_f=D_{f'}=]0\,;+\infty[$ : la racine impose $x\geqslant 0$ et le quotient impose $x\neq 0$. $$\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{4\sqrt{x}}+\dfrac{2}{5x^{2}}}$$

e) $D_f=D_{f'}=\mathbb{R}^{*}$ et $f'(x)=3\times\left(-\dfrac{2}{x^{3}}\right)=\boxed{-\dfrac{6}{x^{3}}}$

f) $D_f=D_{f'}=]0\,;+\infty[$ et $\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{x^{2}}}$

g) $D_f=D_{f'}=\mathbb{R}^{*}$ et $\boxed{f'(x)=2x-\dfrac{1}{x^{2}}}$

h) $D_f=D_{f'}=]0\,;+\infty[$ et $\boxed{f'(x)=-\dfrac{4}{x^{5}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}$

i) $D_f=[0\,;+\infty[$, $D_{f'}=]0\,;+\infty[$ et $f'(x)=-6\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\boxed{-\dfrac{3}{\sqrt{x}}}$

j) $D_f=D_{f'}=\mathbb{R}^{*}$ et $f'(x)=2\times\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)-\dfrac{1}{3}\times\left(-\dfrac{2}{x^{3}}\right) =\boxed{-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{2}{3x^{3}}}$

Piège classique (questions f) et i)) : $2\sqrt{x}$ a pour dérivée $2\times\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, et non $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Le facteur $2$ ne doit pas être oublié.