Exercice 7

On applique les dérivées usuelles ainsi que $(u+v)'=u'+v'$ et $(ku)'=ku'$. Toutes ces fonctions sont des polynômes : elles sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

a) $\boxed{f'(x)=0}$

b) $\boxed{f'(x)=3}$

c) $\boxed{f'(x)=-4x+3}$

d) $\boxed{f'(x)=3x^{2}-8x+7}$

e) $\boxed{f'(x)=-15x^{2}+8x-9}$

f) $\boxed{f'(x)=-2x^{3}+9x^{2}+\sqrt{3}}$

g) $\boxed{f'(x)=\dfrac{3x^{2}+12}{2}}$

h) $\boxed{f'(x)=5x^{4}}$

i) $\boxed{f'(x)=28x^{3}-x}$

j) $\boxed{f'(x)=\dfrac{2}{5}}$

k) $\boxed{f'(x)=12x^{2}-12x+2}$

l) $\boxed{f'(x)=-6x^{5}+6x^{2}-1}$

Détail de la question f). On écrit $f(x)=-\frac{1}{2}x^{4}+3x^{3}+\sqrt{3}\,x-1$. Le terme $\sqrt{3}\,x$ est de la forme $kx$ avec $k=\sqrt{3}$ : sa dérivée vaut $\sqrt{3}$, et non $\frac{1}{2\sqrt{3}}$. Le nombre $\sqrt{3}$ est une constante, pas une fonction. De même, le terme $-1$ disparaît. D'où : $$f'(x)=-\frac{1}{2}\times 4x^{3}+3\times 3x^{2}+\sqrt{3}=-2x^{3}+9x^{2}+\sqrt{3}$$

Détail de la question g). On écrit $f(x)=\frac{1}{2}\left(x^{3}+12x-1\right)$, produit par le réel $\frac{1}{2}$ : $$f'(x)=\frac{1}{2}\left(3x^{2}+12\right)=\frac{3x^{2}+12}{2}$$