ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Taux de variation et nombre dérivé

Exercice 6

Lecture graphiqueDémonstrationCalcul

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $g$ définie sur $[-1\,;3]$ , ainsi que ses tangentes en trois points.

1. Déterminer par lecture graphique $g(0)$ , $g(1)$ et $g(2)$ .

2. Déterminer de même $g'(0)$ , $g'(1)$ et $g'(2)$ .

3. En quels points la tangente est-elle horizontale ?

4. Le nombre dérivé $g'(0{,}5)$ est-il positif ou négatif ? Justifier en observant l'allure de la courbe, sans aucun calcul.

5. Même question pour $g'(3)$ .

Corrigé

1. $\boxed{g(0)=2 \qquad g(1)=0 \qquad g(2)=-2}$

2. Les tangentes en $0$ et en $2$ sont horizontales ; celle en $1$ passe par les points $(1\,;0)$ et $(0\,;3)$ , d'où un coefficient directeur $\dfrac{3-0}{0-1}=-3$ : $\boxed{g'(0)=0 \qquad g'(1)=-3 \qquad g'(2)=0}$

3. La tangente est horizontale aux points d'abscisses $\boxed{0 \text{ et } 2}$ , c'est-à-dire aux points $(0\,;2)$ et $(2\,;-2)$ .

4. Entre $0$ et $2$ , la courbe descend : les tangentes y descendent aussi. Comme $0{,}5$ appartient à cet intervalle, $\boxed{g'(0{,}5)<0}$

5. Après $x=2$ , la courbe remonte nettement, donc $\boxed{g'(3)>0}$ Ces deux conjectures seront vérifiées par le calcul à l'exercice 15.

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Dans l'édifice

Développement limité à l'ordre 1 et continuité Dérivabilité en un point

Thèmes

nombre dérivé, tangente

Notions

dérivable