ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Fonction dérivée : calculsExercice 14CalculLes fonctions suivantes mélangent toutes les règles du chapitre : il faut donc commencer par reconnaître de quel type de fonction il s'agit. Donner à chaque fois l'ensemble de définition, l'ensemble de dérivabilité, et la fonction dérivée.a) f(x)=x (2x−1)f(x)=\sqrt{x}\,(2x-1)b) f(x)=x2−1xf(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x}c) f(x)=3x2−1x2f(x)=3x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}d) f(x)=2x+1xf(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x}}e) f(x)=1x−3f(x)=\dfrac{1}{x-3}f) f(x)=x2xf(x)=x^{2}\sqrt{x}g) f(x)=4x−3x2+7f(x)=\dfrac{4}{x}-3x^{2}+7h) f(x)=(x−1)(1x+2)f(x)=(x-1)\left(\dfrac{1}{x}+2\right)i) f(x)=(2x−5)3f(x)=(2x-5)^{3}j) f(x)=4x−3f(x)=\sqrt{4x-3}Corrigéa) Produit. Df=[0 ;+∞[D_f=[0\,;+\infty[, Df′=]0 ;+∞[D_{f'}=]0\,;+\infty[.{u(x)=xv(x)=2x−1ce qui donne :{u′(x)=12xv′(x)=2\left\{\begin{array}{l} u(x)=\sqrt{x} \\[2mm] v(x)=2x-1 \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\[2mm] v'(x)=2 \end{array}\right.f′(x)=2x−12x+2x=2x−12x+4x2x=6x−12xf'(x)=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x}}+2\sqrt{x} =\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{4x}{2\sqrt{x}}=\boxed{\dfrac{6x-1}{2\sqrt{x}}}b) Quotient. Df=Df′=ℝ∗D_f=D_{f'}=\mathbb{R}^{*}.{u(x)=x2−1v(x)=xce qui donne :{u′(x)=2xv′(x)=1\left\{\begin{array}{l} u(x)=x^{2}-1 \\[2mm] v(x)=x \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=2x \\[2mm] v'(x)=1 \end{array}\right.f′(x)=2x×x−(x2−1)x2=2x2−x2+1x2=x2+1x2f'(x)=\dfrac{2x\times x-(x^{2}-1)}{x^{2}}=\dfrac{2x^{2}-x^{2}+1}{x^{2}} =\boxed{\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}}c) Somme. Df=Df′=ℝ∗D_f=D_{f'}=\mathbb{R}^{*} : f′(x)=6x−(−2x3)=6x+2x3f'(x)=6x-\left(-\dfrac{2}{x^{3}}\right)=\boxed{6x+\dfrac{2}{x^{3}}}d) Quotient. Df=Df′=]0 ;+∞[D_f=D_{f'}=]0\,;+\infty[.{u(x)=2x+1v(x)=xce qui donne :{u′(x)=2v′(x)=12x\left\{\begin{array}{l} u(x)=2x+1 \\[2mm] v(x)=\sqrt{x} \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=2 \\[2mm] v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{array}\right.f′(x)=2x−(2x+1)12xx=4x−2x−12xx=2x−12xxf'(x)=\dfrac{2\sqrt{x}-(2x+1)\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{x} =\dfrac{\dfrac{4x-2x-1}{2\sqrt{x}}}{x}=\boxed{\dfrac{2x-1}{2x\sqrt{x}}}e) Inverse. Df=Df′=ℝ∖{3}D_f=D_{f'}=\mathbb{R}\setminus\{3\}, avec v(x)=x−3v(x)=x-3 et v′(x)=1v'(x)=1 : f′(x)=−1(x−3)2\boxed{f'(x)=-\dfrac{1}{(x-3)^{2}}}f) Produit. Df=[0 ;+∞[D_f=[0\,;+\infty[, Df′=]0 ;+∞[D_{f'}=]0\,;+\infty[.{u(x)=x2v(x)=xce qui donne :{u′(x)=2xv′(x)=12x\left\{\begin{array}{l} u(x)=x^{2} \\[2mm] v(x)=\sqrt{x} \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=2x \\[2mm] v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{array}\right.f′(x)=2xx+x22x=4x22x+x22x=5x22x=5xx2f'(x)=2x\sqrt{x}+\dfrac{x^{2}}{2\sqrt{x}} =\dfrac{4x^{2}}{2\sqrt{x}}+\dfrac{x^{2}}{2\sqrt{x}}=\boxed{\dfrac{5x^{2}}{2\sqrt{x}} =\dfrac{5x\sqrt{x}}{2}}g) Somme. Df=Df′=ℝ∗D_f=D_{f'}=\mathbb{R}^{*} : f′(x)=−4x2−6x\boxed{f'(x)=-\dfrac{4}{x^{2}}-6x}h) Produit. Df=Df′=ℝ∗D_f=D_{f'}=\mathbb{R}^{*}.{u(x)=x−1v(x)=1x+2ce qui donne :{u′(x)=1v′(x)=−1x2\left\{\begin{array}{l} u(x)=x-1 \\[2mm] v(x)=\dfrac{1}{x}+2 \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=1 \\[2mm] v'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} \end{array}\right.f′(x)=1x+2+(x−1)(−1x2)=1x+2−1x+1x2=2+1x2f'(x)=\dfrac{1}{x}+2+(x-1)\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right) =\dfrac{1}{x}+2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=\boxed{2+\dfrac{1}{x^{2}}} Vérification : f(x)=1+2x−1x−2=2x−1x−1f(x)=1+2x-\dfrac{1}{x}-2=2x-\dfrac{1}{x}-1, donc f′(x)=2+1x2f'(x)=2+\dfrac{1}{x^{2}}.i) Puissance. u(x)=2x−5u(x)=2x-5, u′(x)=2u'(x)=2, n=3n=3, sur ℝ\mathbb{R} : f′(x)=3×2×(2x−5)2=6(2x−5)2f'(x)=3\times 2\times(2x-5)^{2}=\boxed{6(2x-5)^{2}}j) Racine. u(x)=4x−3u(x)=4x-3, u′(x)=4u'(x)=4. Df=[34 ;+∞[D_f=\left[\frac{3}{4}\,;+\infty\right[ et Df′=]34 ;+∞[D_{f'}=\left]\frac{3}{4}\,;+\infty\right[ : f′(x)=424x−3=24x−3f'(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\boxed{\dfrac{2}{\sqrt{4x-3}}}Énoncé PDF, p. 5Corrigé PDF, p. 11Toute la feuilleLe coursDans l'édificeOpérations sur les fonctions dérivablesThèmesfonction dérivée, racine carréeNotionsdérivable← Exercice 13Exercice 15 →
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