ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Fonction dérivée : calculs

Exercice 15

Lecture graphiqueConjectureCalcul

Retour sur les exercices 5 et 6. Maintenant que l'on sait dériver, on peut vérifier par le calcul les nombres dérivés qui avaient été lus graphiquement.

1. La fonction de l'exercice 5 est définie sur $[-6\,;6]$ par $f(x)=4-\dfrac{x^{2}}{4}$ . Calculer $f'(x)$ , puis $f'(-4)$ , $f'(0)$ , $f'(2)$ et $f'(4)$ . Comparer aux valeurs lues.

2. La fonction de l'exercice 6 est définie sur $[-1\,;3]$ par $g(x)=x^{3}-3x^{2}+2$ . Calculer $g'(x)$ , puis $g'(0)$ , $g'(1)$ et $g'(2)$ . Comparer aux valeurs lues.

3. Calculer $g'(0{,}5)$ et $g'(3)$ , et vérifier les signes conjecturés à l'exercice 6.

4. Résoudre $f'(x)=0$ et $g'(x)=0$ . Retrouve-t-on les abscisses des tangentes horizontales observées sur les deux figures ?

Corrigé

1. $f(x)=4-\dfrac{x^{2}}{4}$ donne $f'(x)=-\dfrac{2x}{4}=\boxed{-\dfrac{x}{2}}$ , d'où : $f'(-4)=2 \qquad f'(0)=0 \qquad f'(2)=-1 \qquad f'(4)=-2$

\boxed{\text{Les quatre valeurs coïncident exactement avec celles lues à l'exercice 5.}}

2. $g(x)=x^{3}-3x^{2}+2$ donne $\boxed{g'(x)=3x^{2}-6x}$ , d'où : $g'(0)=0 \qquad g'(1)=3-6=-3 \qquad g'(2)=12-12=0$

\boxed{\text{Les trois valeurs confirment les lectures de l'exercice 6.}}

3. $g'(0{,}5)=3\times 0{,}25-6\times 0{,}5=0{,}75-3=\boxed{-2{,}25<0}$ et $g'(3)=27-18=\boxed{9>0}$ .

Les deux signes conjecturés graphiquement sont donc corrects.

4. $f'(x)=0 \iff -\dfrac{x}{2}=0 \iff \boxed{x=0}$ : c'est bien l'unique abscisse où la tangente était horizontale sur la première figure.

$g'(x)=0 \iff 3x(x-2)=0 \iff \boxed{x=0 \text{ ou } x=2}$ : ce sont bien les deux abscisses repérées sur la seconde figure.

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 13 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Opérations sur les fonctions dérivables Développement limité à l'ordre 1 et continuité

Thèmes

nombre dérivé, tangente, fonction dérivée, produit et quotient

Notions

dérivable