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ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Équation de tangente

Exercice 16

Calcul

Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d'abscisse aa.

a) f(x)=x2−3x+1f(x)=x^{2}-3x+1 et a=2a=2

b) f(x)=x3f(x)=x^{3} et a=−1a=-1

c) f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} et a=2a=2

d) f(x)=xf(x)=\sqrt{x} et a=9a=9

e) f(x)=−x2+4xf(x)=-x^{2}+4x et a=3a=3

f) f(x)=x+1x−1f(x)=\dfrac{x+1}{x-1} et a=2a=2

Corrigé

On applique la formule y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a).

a) f(2)=4−6+1=−1f(2)=4-6+1=-1 et f′(x)=2x−3f'(x)=2x-3 donc f′(2)=1f'(2)=1 : y=1×(x−2)−1soity=x−3y=1\times(x-2)-1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=x-3}

b) f(−1)=−1f(-1)=-1 et f′(x)=3x2f'(x)=3x^{2} donc f′(−1)=3f'(-1)=3 : y=3(x+1)−1soity=3x+2y=3(x+1)-1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=3x+2}

c) f(2)=12f(2)=\dfrac{1}{2} et f′(x)=−1x2f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} donc f′(2)=−14f'(2)=-\dfrac{1}{4} : y=−14(x−2)+12soity=−x4+1y=-\dfrac{1}{4}(x-2)+\dfrac{1}{2} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=-\dfrac{x}{4}+1}

d) f(9)=3f(9)=3 et f′(x)=12xf'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} donc f′(9)=16f'(9)=\dfrac{1}{6} : y=16(x−9)+3soity=x6+32y=\dfrac{1}{6}(x-9)+3 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=\dfrac{x}{6}+\dfrac{3}{2}}

e) f(3)=−9+12=3f(3)=-9+12=3 et f′(x)=−2x+4f'(x)=-2x+4 donc f′(3)=−2f'(3)=-2 : y=−2(x−3)+3soity=−2x+9y=-2(x-3)+3 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=-2x+9}

f) f(2)=31=3f(2)=\dfrac{3}{1}=3 et, avec u(x)=x+1u(x)=x+1 et v(x)=x−1v(x)=x-1, f′(x)=(x−1)−(x+1)(x−1)2=−2(x−1)2f'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^{2}}=-\dfrac{2}{(x-1)^{2}} donc f′(2)=−2f'(2)=-2 : y=−2(x−2)+3soity=−2x+7y=-2(x-2)+3 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=-2x+7}

Énoncé PDF, p. 6Corrigé PDF, p. 13Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Développement limité à l'ordre 1 et continuité

Thèmes

tangente, racine carrée

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