Exercice 17

1. $f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x^{2}-4x+3)=3(x-1)(x-3)$. La tangente est horizontale lorsque $f'(x)=0$, c'est-à-dire pour $x=1$ ou $x=3$. Comme $f(1)=1-6+9+1=5$ et $f(3)=27-54+27+1=1$ : $$\boxed{\text{aux points } (1\,;5) \text{ et } (3\,;1),\ \text{tangentes } y=5 \text{ et } y=1.}$$

2. Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ont le même coefficient directeur. On résout donc $f'(x)=2$ : $$2x-4=2 \iff x=3 \qquad\text{et}\qquad f(3)=9-12+1=-2$$

3. On résout $f'(x)=9$ : $$3x^{2}-3=9 \iff 3x^{2}=12 \iff x^{2}=4 \iff x=-2 \text{ ou } x=2$$ Comme $f(-2)=-8+6=-2$ et $f(2)=8-6=2$ : $$\boxed{\text{aux points } (-2\,;-2) \text{ et } (2\,;2),\ \text{tangentes } y=9x+16 \text{ et } y=9x-16.}$$ Attention : l'équation $x^{2}=4$ admet deux solutions, il y a donc deux points.

4. $f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$. Or $x^{2}>0$ pour tout $x\neq 0$, donc $f'(x)<0$ : la dérivée ne s'annule jamais. $$\boxed{\text{La courbe de la fonction inverse n'admet aucune tangente horizontale.}}$$

5. Une tangente parallèle à l'axe des abscisses est une tangente horizontale. On résout $f'(x)=0$ : $$2x+1=0 \iff x=-\dfrac{1}{2} \qquad\text{et}\qquad f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}$$