Exercice 18

1. $f(a)=a^{2}$ et $f'(x)=2x$ donc $f'(a)=2a$. La tangente $T_{a}$ a donc pour équation : $$y=2a(x-a)+a^{2}=2ax-2a^{2}+a^{2} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=2ax-a^{2}}$$

2. Le point $A(0\,;-1)$ appartient à $T_{a}$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation : $$-1=2a\times 0-a^{2} \iff -1=-a^{2} \iff a^{2}=1 \iff a=-1 \text{ ou } a=1$$

3. Pour $B(1\,;0)$ : $$0=2a\times 1-a^{2} \iff 2a-a^{2}=0 \iff a(2-a)=0 \iff a=0 \text{ ou } a=2$$

4. Pour $C(0\,;1)$ : $$1=-a^{2} \iff a^{2}=-1$$ Un carré ne pouvant être négatif, cette équation n'a aucune solution : $$\boxed{\text{Aucune tangente à } \mathcal{P} \text{ ne passe par } C.}$$ Interprétation. La parabole est convexe : elle est située au-dessus de toutes ses tangentes. Le point $C(0\,;1)$ se trouve à l'intérieur de la parabole, c'est-à-dire au-dessus d'elle ; aucune tangente ne peut donc l'atteindre. Les points $A$ et $B$, eux, sont situés en dessous de la courbe, et l'on peut en mener deux tangentes.