ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Équation de tangente

Exercice 19

Lecture graphiqueCalcul

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-1\,;7]$ , ainsi que ses tangentes en trois points.

1. Déterminer par lecture graphique $f(0)$ , $f(2)$ , $f(4)$ , puis $f'(0)$ , $f'(2)$ et $f'(4)$ .

2. En déduire une équation de chacune des trois tangentes tracées.

3. On admet que $f(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-2x$ . Calculer $f'(x)$ et vérifier les trois nombres dérivés lus à la question 1.

4. Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $6$ , puis la tracer sur le graphique.

5. Existe-t-il un point de la courbe en lequel la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=x+3$  ? Si oui, déterminer ses coordonnées et l'équation de cette tangente.

Corrigé

1. On lit les ordonnées des trois points marqués, puis les coefficients directeurs des tangentes : $\boxed{f(0)=0 \qquad f(2)=-2 \qquad f(4)=0}$

\boxed{f'(0)=-2 \qquad f'(2)=0 \qquad f'(4)=2}

2. On applique $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ :

• en $a=0$ : $y=-2(x-0)+0$ , soit $\boxed{y=-2x}$  ;

• en $a=2$ : $y=0\times(x-2)-2$ , soit $\boxed{y=-2}$  ;

• en $a=4$ : $y=2(x-4)+0$ , soit $\boxed{y=2x-8}$ .

3. $f(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-2x$ donne $\boxed{f'(x)=x-2}$ , d'où $f'(0)=-2$ , $f'(2)=0$ et $f'(4)=2$ : les trois lectures sont confirmées.

4. $f(6)=18-12=6$ et $f'(6)=4$ , donc : $y=4(x-6)+6 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=4x-18}$ Pour la tracer, il suffit de placer le point $(6\,;6)$ et, par exemple, le point $(5\,;2)$ .

5. La droite $y=x+3$ a pour coefficient directeur $1$ . On résout donc $f'(x)=1$ : $x-2=1 \iff x=3 \qquad\text{et}\qquad f(3)=\dfrac{9}{2}-6=-\dfrac{3}{2}$

\boxed{\text{Au point } \left(3\,;-\dfrac{3}{2}\right),\ \text{tangente } y=x-\dfrac{9}{2}.}

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Opérations sur les fonctions dérivables Développement limité à l'ordre 1 et continuité

Thèmes

nombre dérivé, tangente, fonction dérivée

Notions

dérivable