ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Dérivée, variations et extremums

Exercice 20

Lecture graphiqueDémonstration

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3\,;5]$ . Les points $A$ et $B$ sont les deux points de la courbe en lesquels la tangente est horizontale.

1. Donner les coordonnées des points $A$ et $B$ .

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3\,;5]$ .

3. En déduire le tableau de signes de $f'$ sur $[-3\,;5]$ .

4. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f'(x)=0$  ?

5. Préciser les extremums locaux de $f$ ainsi que leur nature.

6. Le nombre $f'(0)$ est-il positif ou négatif ? Et $f'(4)$  ? Justifier sans calcul.

Corrigé

1. Par lecture graphique : $\boxed{A(-1\,;4) \quad\text{et}\quad B(3\,;-4)}$

2. La courbe monte, puis descend, puis remonte :

3. Une fonction croissante a une dérivée positive, une fonction décroissante une dérivée négative :

4. La dérivée s'annule là où la tangente est horizontale : $\boxed{f'(x)=0 \text{ pour } x=-1 \text{ et } x=3}$

5. $\boxed{f \text{ admet un maximum local } 4 \text{ en } -1,\ \text{et un minimum local } -4 \text{ en } 3.}$

6. En $x=0$ , la courbe descend : la tangente y descend aussi, donc $\boxed{f'(0)<0}$ . En $x=4$ , la courbe monte, donc $\boxed{f'(4)>0}$ .

Aucun calcul n'est nécessaire : le signe de la dérivée se lit directement sur le sens de variation.

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Opérations sur les fonctions dérivables Signe de la dérivée et monotonie Développement limité à l'ordre 1 et continuité Extremum local et dérivée nulle

Thèmes

nombre dérivé, tangente, fonction dérivée, variations, extremums

Notions

dérivable, extremum local