Exercice 21

1. La courbe de $f'$ coupe l'axe des abscisses en deux points : $$\boxed{f'(x)=0 \text{ pour } x=-2 \text{ et } x=2}$$

2. La parabole est au-dessus de l'axe entre $-2$ et $2$, et en dessous à l'extérieur :

Piège à éviter : on lit ici le signe de $f'$, c'est-à-dire la position de la courbe par rapport à l'axe — et non ses variations.

3. Le signe de $f'$ donne les variations de $f$ :

4. $\boxed{f \text{ admet un minimum local en } -2 \text{ et un maximum local en } 2.}$ Dans les deux cas, $f'$ s'annule en changeant de signe.

5. Par lecture graphique, $\boxed{f'(0)=4}$. Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

6. Avec $f(0)=1$ et $f'(0)=4$ : $$y=4(x-0)+1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=4x+1}$$