Exercice 22

1. On reporte le signe de $f'$ et les cinq valeurs données :

La fonction est croissante sur tout $[-2\,;4]$, l'annulation en $1$ n'interrompant pas la croissance.

2. $\boxed{f \text{ admet un minimum local } -3 \text{ en } -2,\ \text{et un maximum local } 6 \text{ en } 4.}$

3. En $x=1$, la dérivée s'annule mais ne change pas de signe. D'après la propriété du cours, il n'y a donc pas d'extremum en ce point. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{la courbe admet en } (1\,;0) \text{ une tangente horizontale, sans extremum :} \\[1mm] \text{elle y marque un palier avant de repartir vers le haut.} \end{array}}$$

4. Sur $[-4\,;6]$, en comparant toutes les valeurs remarquables $5$, $-3$, $6$ et $2$ : $$\boxed{\text{maximum } 6 \text{ atteint en } x=4 \quad;\quad \text{minimum } -3 \text{ atteint en } x=-2}$$

5. On examine les trois branches monotones :

• sur $[-4\,;-2]$, $f$ décroît de $5$ à $-3$ : comme $1\in\,]-3\,;5[$, il y a une solution ;

• sur $[-2\,;4]$, $f$ croît de $-3$ à $6$ : comme $1\in\,]-3\,;6[$, il y a une solution ;

• sur $[4\,;6]$, $f$ décroît de $6$ à $2$ : comme $1<2$, il n'y en a aucune.