Exercice 27

1. La longueur découpée est positive, donc $x\geqslant 0$. De plus, on retire $x$ à chaque extrémité d'un côté de $12$ cm, donc $12-2x\geqslant 0$, soit $x\leqslant 6$ : $$\boxed{x\in[0\,;6]}$$

2. La base est un carré de côté $12-2x$ et la hauteur vaut $x$, donc $$\boxed{V(x)=x(12-2x)^{2}}$$

3. $(12-2x)^{2}=144-48x+4x^{2}$, donc $V(x)=4x^{3}-48x^{2}+144x$ et $$V'(x)=12x^{2}-96x+144=12\left(x^{2}-8x+12\right)=\boxed{12(x-2)(x-6)}$$ Vérification de la factorisation : $(x-2)(x-6)=x^{2}-8x+12$.

4. Le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines $2$ et $6$, négatif entre elles.

5. $V(2)=2\times(12-4)^{2}=2\times 64=128$ : $$\boxed{\text{Le volume est maximal pour } x=2 \text{ cm, et vaut alors } 128 \text{ cm}^{3}.}$$ La boîte a alors pour base un carré de $8$ cm de côté et pour hauteur $2$ cm.