Exercice 28

1. $\boxed{R(q)=200q}$

2. $B(q)=200q-\left(q^{3}-24q^{2}+245q+100\right)$, d'où $$\boxed{B(q)=-q^{3}+24q^{2}-45q-100}$$

3. $B'(q)=-3q^{2}+48q-45=-3\left(q^{2}-16q+15\right)=\boxed{-3(q-1)(q-15)}$

Vérification : $(q-1)(q-15)=q^{2}-16q+15$.

4. Le facteur $-3$ étant négatif, $B'$ est du signe opposé à celui de $(q-1)(q-15)$ : positive entre les racines, négative à l'extérieur. Avec $B(0)=-100$, $B(1)=-122$, $B(15)=1250$ et $B(20)=600$ :

5. Le bénéfice est maximal pour $q=15$, c'est-à-dire $1\,500$ objets. Il vaut alors $1\,250$ centaines d'euros : $$\boxed{\text{Bénéfice maximal de } 125\,000~\text{€ pour } 1\,500 \text{ objets produits.}}$$

6. $B(0)=-100$ et $B(1)=-122$ : dans les deux cas le bénéfice est négatif, et il est même plus mauvais pour $q=1$ que pour $q=0$. $$\boxed{\text{Produire très peu est la pire stratégie : les frais fixes ne sont pas couverts.}}$$ L'entreprise a intérêt à produire beaucoup, jusqu'à $1\,500$ objets — au-delà, le bénéfice diminue à nouveau.