ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Exercices de synthèse

Exercice 29

Calcul

1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels. Sachant que $f'(x)=6x+7$ pour tout réel $x$ et que $f(1)=6$ , déterminer $a$ , $b$ et $c$ .

2. Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx$ . Sachant que $g'(x)=6x^{2}-5x+1$ pour tout réel $x$ , déterminer $a$ , $b$ et $c$ .

3. Soit $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=ax^{2}+bx+c$ . Sachant que $h'(x)=-4x+\dfrac{1}{2}$ et que la courbe de $h$ passe par le point de coordonnées $(2\,;-9)$ , déterminer $a$ , $b$ et $c$ .

4. Soit $k$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $k(x)=ax+\dfrac{b}{x}$ . Sachant que $k(1)=4$ et $k'(1)=0$ , déterminer $a$ et $b$ .

Corrigé

1. $f'(x)=2ax+b$ . L'égalité $2ax+b=6x+7$ devant être vraie pour tout réel $x$ , on identifie les coefficients : $2a=6$ et $b=7$ , donc $a=3$ et $b=7$ . Puis $f(1)=a+b+c=3+7+c=6 \iff c=-4$

\boxed{a=3,\quad b=7,\quad c=-4}

2. $g'(x)=3ax^{2}+2bx+c$ . Par identification avec $6x^{2}-5x+1$ : $3a=6,\quad 2b=-5,\quad c=1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{a=2,\quad b=-\dfrac{5}{2},\quad c=1}$

3. $h'(x)=2ax+b$ . Par identification avec $-4x+\dfrac{1}{2}$ : $2a=-4$ et $b=\dfrac{1}{2}$ , donc $a=-2$ . La courbe passant par $(2\,;-9)$ : $h(2)=4a+2b+c=-8+1+c=-9 \iff c=-2$

\boxed{a=-2,\quad b=\dfrac{1}{2},\quad c=-2}

4. $k(x)=ax+\dfrac{b}{x}$ donne $k'(x)=a-\dfrac{b}{x^{2}}$ . Les deux conditions s'écrivent : $\begin{cases} k(1)=a+b=4 \\ k'(1)=a-b=0 \end{cases}$ En additionnant, $2a=4$ donc $a=2$ , puis $b=2$ : $\boxed{a=2,\quad b=2}$

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