Exercice 30

1. $f'(x)=3x^{2}-6x-9=3\left(x^{2}-2x-3\right)$. Or $(x-3)(x+1)=x^{2}-2x-3$, donc $$\boxed{f'(x)=3(x-3)(x+1)}$$

2. Le trinôme est négatif entre ses racines $-1$ et $3$. Avec $f(-3)=-27-27+27+5=-22$, $f(-1)=-1-3+9+5=10$, $f(3)=27-27-27+5=-22$ et $f(5)=125-75-45+5=10$ :

3. $\boxed{\text{Maximum local } 10 \text{ en } -1 \quad;\quad \text{minimum local } -22 \text{ en } 3.}$

Sur $[-3\,;5]$ tout entier, le maximum vaut $10$ (atteint en $-1$ et en $5$) et le minimum $-22$ (atteint en $-3$ et en $3$).

4. $f(0)=5$ et $f'(0)=3\times(-3)\times 1=-9$, donc $$y=-9(x-0)+5 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{T : y=-9x+5}$$

5. $f'(x)=0 \iff x=-1$ ou $x=3$ : $$\boxed{\text{aux points } (-1\,;10) \text{ et } (3\,;-22).}$$

6. $f'(x)=-9 \iff 3x^{2}-6x-9=-9 \iff 3x^{2}-6x=0 \iff 3x(x-2)=0$, donc $$\boxed{x=0 \text{ ou } x=2}$$ Interprétation. En ces deux points la tangente a le même coefficient directeur $-9$ que la tangente $T$ : les tangentes en $0$ et en $2$ sont donc parallèles. Comme $f(2)=8-12-18+5=-17$, la seconde a pour équation $y=-9(x-2)-17=-9x+1$ : elle est bien parallèle à $T$ sans lui être confondue.