Exercice 31

1. Les cinq points sont $(-4\,;-1)$, $(-2\,;3)$, $(1\,;-2)$, $(3\,;0)$ et $(5\,;4)$.

2. Un nombre dérivé nul signifie que la tangente a un coefficient directeur nul : $$\boxed{\text{les tangentes aux points d'abscisses } -2 \text{ et } 1 \text{ sont horizontales.}}$$ Ce sont donc les droites d'équations $y=3$ et $y=-2$, tracées en pointillés violets ci-dessous.

3. Avec $a=3$, $f(3)=0$ et $f'(3)=2$ : $$y=2(x-3)+0 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=2x-6}$$ Pour la tracer, on part du point $(3\,;0)$ et l'on avance d'une unité vers la droite en montant de deux : on obtient le point $(4\,;2)$.

4. En $-2$ et en $1$, la dérivée s'annule ; entre ces deux valeurs $f$ passe de $3$ à $-2$, elle y est donc décroissante. Ailleurs elle croît, ce que confirme $f'(3)=2>0$.

5. Toute courbe respectant ce tableau et les trois tangentes convient. En voici une :

6. La droite d'équation $y=1$, tracée en ocre, coupe la courbe une fois sur chacune des trois branches monotones : $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=1 \text{ admet } 3 \text{ solutions.}}$$ En revanche, le minimum de $f$ sur $[-4\,;5]$ vaut $-2$, et $-3<-2$ : $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=-3 \text{ n'admet aucune solution.}}$$