Exercice 32

1. $f(x)=-x^{3}+3x+2$ donne $f'(x)=-3x^{2}+3=-3\left(x^{2}-1\right)$, soit $$\boxed{f'(x)=-3(x-1)(x+1)}$$

2. Le coefficient $-3$ étant négatif, le trinôme est positif entre ses racines. On calcule les quatre valeurs utiles : $$f(-2)=8-6+2=4 \qquad f(-1)=1-3+2=0 \qquad f(1)=-1+3+2=4 \qquad f(2)=-8+6+2=0$$

$\boxed{\text{Minimum local } 0 \text{ en } -1 \quad;\quad \text{maximum local } 4 \text{ en } 1.}$

3. On applique $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ :

• en $a=-1$ : $f(-1)=0$ et $f'(-1)=0$, donc $\boxed{y=0}$ (l'axe des abscisses) ;

• en $a=0$ : $f(0)=2$ et $f'(0)=3$, donc $y=3(x-0)+2$, soit $\boxed{y=3x+2}$ ;

• en $a=1$ : $f(1)=4$ et $f'(1)=0$, donc $\boxed{y=4}$.

Les deux tangentes horizontales correspondent bien aux deux extremums du tableau.

* 4. et 5.* On place les points $(-1\,;0)$, $(0\,;2)$ et $(1\,;4)$, on trace les trois tangentes en violet, puis la courbe qui les épouse en chacun de ces points :

5. La droite d'équation $y=1$ coupe la courbe une fois sur chacune des trois branches monotones : $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=1 \text{ admet } 3 \text{ solutions sur } [-2\,;2].}$$ Par lecture graphique, ces solutions valent environ : $$\boxed{x_{1}\approx -1{,}5 \qquad x_{2}\approx -0{,}35 \qquad x_{3}\approx 1{,}9}$$ Vérification : $f(-1{,}5)=3{,}375-4{,}5+2=0{,}875$ et $f(1{,}9)=-6{,}859+5{,}7+2=0{,}841$, deux valeurs proches de $1$.