ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Exercices de synthèse

Exercice 33

QCMDémonstrationCalcul

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Déterminer laquelle et justifier.

	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. Si $f(x)=x^{5}$ , alors $f'(x)$ vaut	$5x^{4}$	$x^{4}$	$5x^{6}$
2. La dérivée de $x\mapsto\dfrac{1}{x^{2}}$ sur $\mathbb{R}^{*}$ est	$-\dfrac{1}{2x}$	$-\dfrac{2}{x^{3}}$	$\dfrac{2}{x^{3}}$
3. La dérivée de $x\mapsto\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ est	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
4. Si $f=uv$ , alors $f'$ vaut	$u'v'$	$u'v+uv'$	$u'v-uv'$
5. Si $f'(x)<0$ sur un intervalle $I$ , alors sur $I$ la fonction $f$ est	croissante	décroissante	constante
6. Pour $f(x)=x^{3}$ , on a $f'(0)=0$ . La fonction $f$ admet en $0$	un minimum	un maximum	aucun extremum
7. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est	$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$	$f(a+h)-f(a)$	$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h}$
8. La dérivée de $x\mapsto(3x+1)^{5}$ est	$5(3x+1)^{4}$	$15(3x+1)^{4}$	$3(3x+1)^{4}$
9. La dérivée de $x\mapsto\sqrt{5x+2}$ est	$\dfrac{1}{2\sqrt{5x+2}}$	$\dfrac{5}{2\sqrt{5x+2}}$	$\dfrac{5}{\sqrt{5x+2}}$

Corrigé

1. Réponse A. $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ , donc la dérivée de $x^{5}$ est $5x^{4}$ . La réponse B oublie le facteur $5$ , la réponse C augmente l'exposant au lieu de le diminuer.

2. Réponse B. $\left(\dfrac{1}{x^{n}}\right)'=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ avec $n=2$ donne $-\dfrac{2}{x^{3}}$ . La réponse C oublie le signe $-$ .

3. Réponse A. C'est la proposition 3 du cours.

4. Réponse B. $(uv)'=u'v+uv'$ . La réponse A est l'erreur la plus fréquente : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

5. Réponse A. La tangente a pour coefficient directeur $f'(a)$ et passe par le point $\big(a\,;f(a)\big)$ . La réponse B échange les rôles de $f(a)$ et $f'(a)$ .

6. Réponse B. C'est la proposition 8 du cours.

7. Réponse C. $f'(x)=3x^{2}$ s'annule en $0$ sans changer de signe : la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ , et n'admet aucun extremum.

8. Réponse A. C'est la définition du taux de variation, dont le dénominateur est $(a+h)-a=h$ .

9. Réponse B. $\left(u^{n}\right)'=n\,u'\,u^{n-1}$ avec $u(x)=3x+1$ , $u'(x)=3$ et $n=5$ donne $5\times 3\times(3x+1)^{4}=15(3x+1)^{4}$ . La réponse A oublie $u'$ .

10. Réponse B. $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u'(x)=5$ donne $\dfrac{5}{2\sqrt{5x+2}}$ . La réponse A oublie encore $u'$ .

Énoncé PDF, p. 12 Corrigé PDF, p. 29 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Opérations sur les fonctions dérivables Signe de la dérivée et monotonie Extremum local et dérivée nulle

Thèmes

taux de variation, nombre dérivé, fonction dérivée, produit et quotient, racine carrée, variations, extremums

Notions

dérivable, extremum local