Exercice 34

1. Fausse. Contre-exemple : $f(x)=x^{3}$ vérifie $f'(0)=0$, et pourtant $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ : il n'y a aucun extremum en $0$. Énoncé correct : il faut de plus que $f'$ change de signe en $a$.

2. Vraie. C'est le premier point de la proposition 9 du cours.

3. Fausse. Le coefficient directeur de la tangente est $f'(a)$ ; le nombre $f(a)$ est l'ordonnée du point de contact.

4. Fausse. Contre-exemple : avec $u(x)=x^{2}$ et $v(x)=x$, on a $\frac{u}{v}(x)=x$ donc $\left(\frac{u}{v}\right)'(x)=1$, alors que $\frac{u'}{v'}(x)=\frac{2x}{1}=2x$. Énoncé correct : $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$.

5. Vraie. Si $f$ était strictement décroissante quelque part, sa dérivée y serait négative. Une fonction croissante a donc une dérivée positive ou nulle.

6. Fausse. La fonction inverse est décroissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition, mais pas sur $\mathbb{R}^{*}$ tout entier. Contre-exemple : $-1<1$ et pourtant $f(-1)=-1<1=f(1)$ : l'ordre est conservé, ce qui contredit la décroissance.

7. Vraie. Si $f'(x)=k$ pour tout $x$ de $I$, alors $f$ est de la forme $x\mapsto kx+b$ : c'est une fonction affine. On remarque que la réciproque est également vraie.