ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Exercices de synthèse

Exercice 35

Calcul

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=9-x^{2}$ . Pour tout réel $x$ de $]0\,;3[$ , on construit le rectangle $MNPQ$ dont les sommets $M$ et $N$ appartiennent à l'axe des abscisses, d'abscisses respectives $-x$ et $x$ , et dont les sommets $P$ et $Q$ appartiennent à $\mathcal{P}$ .

1. Exprimer la longueur $MN$ puis la hauteur $NP$ en fonction de $x$ .

2. En déduire que l'aire du rectangle vaut $A(x)=18x-2x^{3}$ .

3. Calculer $A'(x)$ et le factoriser.

4. Étudier le signe de $A'$ sur $]0\,;3[$ et dresser le tableau de variations de $A$ .

5. En déduire la valeur exacte de $x$ pour laquelle l'aire est maximale, puis la valeur exacte de cette aire maximale. En donner une valeur approchée au centième.

6. Déterminer alors les dimensions exactes du rectangle d'aire maximale.

Corrigé

1. Les points $M$ et $N$ ont pour abscisses $-x$ et $x$ , donc $\boxed{MN=x-(-x)=2x}$ Le point $P$ appartient à $\mathcal{P}$ et a pour abscisse $x$ , donc son ordonnée vaut $9-x^{2}$ : $\boxed{NP=9-x^{2}}$

2. L'aire du rectangle est le produit de ses deux dimensions : $A(x)=2x\left(9-x^{2}\right)=\boxed{18x-2x^{3}}$

3. $A'(x)=18-6x^{2}=6\left(3-x^{2}\right)=\boxed{6\left(\sqrt{3}-x\right) \left(\sqrt{3}+x\right)}$

4. Sur $]0\,;3[$ , le facteur $\sqrt{3}+x$ est positif : le signe de $A'$ est celui de $\sqrt{3}-x$ , positif avant $\sqrt{3}$ et négatif après.

5. L'aire est maximale pour $x=\sqrt{3}$ , et vaut alors $A\left(\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}\left(9-3\right)=\boxed{12\sqrt{3}\approx 20{,}78}$

6. Les dimensions du rectangle sont alors : $MN=2\sqrt{3} \qquad\text{et}\qquad NP=9-3=6$

$\boxed{\text{Le rectangle d'aire maximale mesure } 2\sqrt{3} \text{ sur } 6.}$ Vérification : $2\sqrt{3}\times 6=12\sqrt{3}$ .

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