Exercice 36

1. $f_{m}(x)=x^{3}-3mx+1$, où $m$ est une constante, donc $$\boxed{f_{m}'(x)=3x^{2}-3m=3\left(x^{2}-m\right)}$$

2. Cas $m\leqslant 0$. Alors $-m\geqslant 0$, donc $x^{2}-m\geqslant x^{2}\geqslant 0$ : la dérivée est positive sur $\mathbb{R}$, et ne s'annule qu'en $0$ dans le cas $m=0$. $$\boxed{f_{m} \text{ est croissante sur } \mathbb{R} \text{ et n'admet aucun extremum.}}$$

3. Cas $m>0$. Alors $\sqrt{m}$ existe et $$x^{2}-m=\left(x-\sqrt{m}\right)\left(x+\sqrt{m}\right)$$ La dérivée s'annule donc en $-\sqrt{m}$ et $\sqrt{m}$, et elle est négative entre ces deux valeurs.

4. On calcule les deux extremums. Comme $\left(\sqrt{m}\right)^{3}=m\sqrt{m}$ : $$f_{m}\left(-\sqrt{m}\right)=-m\sqrt{m}+3m\sqrt{m}+1=\boxed{2m\sqrt{m}+1} \qquad (\text{maximum local})$$

5. $f_{m}'(1)=3(1-m)=0 \iff \boxed{m=1}$. Pour cette valeur, les extremums sont atteints en $-1$ et $1$, et valent : $$f_{1}(-1)=-1+3+1=\boxed{3} \qquad\text{et}\qquad f_{1}(1)=1-3+1=\boxed{-1}$$ Vérification par la formule de la question 4 : $2\times 1\times 1+1=3$ et $-2\times 1\times 1+1=-1$.

6. Pour toute valeur de $m$, on a : $$f_{m}(0)=0^{3}-3m\times 0+1=1$$ Le terme en $m$ disparaît, car il est multiplié par $x=0$. $$\boxed{\text{Toutes les courbes passent par le point de coordonnées } (0\,;1).}$$