ExercicePremière, chapitre 4 — Dérivation · Dérivée, variations et extremums

Exercice 26

Calcul

Dans chaque cas, la fonction est étudiée sur un intervalle fermé. Dresser son tableau de variations, puis déterminer son maximum et son minimum sur cet intervalle, en précisant en quelles valeurs ils sont atteints.

1. $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$ sur $[0\,;4]$

2. $g(x)=-x^{3}+3x^{2}+1$ sur $[-1\,;3]$

3. $h(x)=x+\dfrac{4}{x}$ sur $[1\,;5]$

On prendra garde à ne pas oublier les valeurs aux bornes de l'intervalle : un extremum global peut fort bien être atteint en une borne, là où la dérivée ne s'annule pas.

Corrigé

1. $f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)$ , et $f(0)=0$ , $f(1)=4$ , $f(3)=0$ , $f(4)=4$ .

$\boxed{\text{Maximum } 4,\ \text{atteint \textbf{deux fois}, en } x=1 \text{ et en } x=4 \quad;\quad \text{minimum } 0,\ \text{en } x=0 \text{ et } x=3.}$ On remarque que le maximum est atteint à la fois en un point où $f'$ s'annule et en une borne de l'intervalle, où $f'$ ne s'annule pas.

2. $g'(x)=-3x^{2}+6x=-3x(x-2)$ , et $g(-1)=5$ , $g(0)=1$ , $g(2)=5$ , $g(3)=1$ .

\boxed{\text{Maximum } 5 \text{ en } x=-1 \text{ et } x=2 \quad;\quad \text{minimum } 1 \text{ en } x=0 \text{ et } x=3.}

3. $h'(x)=1-\dfrac{4}{x^{2}}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^{2}}$ . Sur $[1\,;5]$ , le signe est celui de $x-2$ . De plus $h(1)=5$ , $h(2)=4$ et $h(5)=5+\frac{4}{5}=\frac{29}{5}$ .

$\boxed{\text{Minimum } 4 \text{ en } x=2 \quad;\quad \text{maximum } \dfrac{29}{5}=5{,}8 \text{ en } x=5.}$ Ici le maximum est atteint en une borne, et non en un point d'annulation de la dérivée.

Énoncé PDF, p. 10 Corrigé PDF, p. 23 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Opérations sur les fonctions dérivables Signe de la dérivée et monotonie Extremum local et dérivée nulle

Thèmes

fonction dérivée, variations, extremums

Notions

dérivable, extremum local