Exercice 25

Dans tout cet exercice, le dénominateur de $f'$ est un carré, donc strictement positif : le signe de $f'$ est celui de son numérateur.

a) $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : $$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}}=\boxed{\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^{2}}}$$ Sur $]0\,;+\infty[$, le facteur $x+2$ est positif : le signe de $f'$ est celui de $x-2$.

$\boxed{\text{Minimum } 4 \text{ atteint en } x=2.}$

b) $f(x)=x^{2}+\dfrac{16}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : $$f'(x)=2x-\dfrac{16}{x^{2}}=\dfrac{2x^{3}-16}{x^{2}}=\boxed{\dfrac{2(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x^{2}}}$$ Le trinôme $x^{2}+2x+4$ a pour discriminant $\Delta=4-16=-12<0$ : il est toujours strictement positif. Le signe de $f'$ est donc celui de $x-2$, et $$\boxed{\text{minimum } 12 \text{ atteint en } x=2.}$$

c) $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. On pose :

$$f'(x)=\dfrac{2x\times x-(x^{2}+1)}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}} =\boxed{\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}}$$ Sur $]0\,;+\infty[$, le signe est celui de $x-1$ :

$\boxed{\text{Minimum } 2 \text{ atteint en } x=1.}$

d) $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. On pose :

$$f'(x)=\dfrac{2x\times x-(x^{2}-4)}{x^{2}}=\boxed{\dfrac{x^{2}+4}{x^{2}}}$$ Le numérateur $x^{2}+4$ est toujours strictement positif : $$\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } ]0\,;+\infty[,\ \text{sans extremum.}}$$

e) $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ sur $]2\,;+\infty[$. On pose :

$$f'(x)=\dfrac{1\times(x-2)-(x+1)\times 1}{(x-2)^{2}}=\boxed{\dfrac{-3}{(x-2)^{2}}}$$ Le numérateur est la constante $-3<0$ : $$\boxed{f \text{ est strictement décroissante sur } ]2\,;+\infty[,\ \text{sans extremum.}}$$

f) $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $]-3\,;+\infty[$. On pose :

g) $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-1}$ sur $\left]\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$. On pose :

h) $f(x)=\dfrac{x^{2}+3}{x-1}$ sur $]1\,;+\infty[$. On pose :

$$f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+3)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{2x^{2}-2x-x^{2}-3}{(x-1)^{2}} =\dfrac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}=\boxed{\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^{2}}}$$ Sur $]1\,;+\infty[$, le facteur $x+1$ est positif : le signe est celui de $x-3$.

$\boxed{\text{Minimum } 6 \text{ atteint en } x=3.}$

i) $f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+2}{x+1}$ sur $]-1\,;+\infty[$. On pose :

$$f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x+1)-(x^{2}+2x+2)}{(x+1)^{2}} =\dfrac{2x^{2}+4x+2-x^{2}-2x-2}{(x+1)^{2}}=\boxed{\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}}$$ Sur $]-1\,;+\infty[$, le facteur $x+2$ est positif : le signe est celui de $x$.

$\boxed{\text{Minimum } 2 \text{ atteint en } x=0.}$

j) $f(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{x-1}$ sur $]1\,;+\infty[$. On pose :

$$f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x-1)-(x^{2}-2x)}{(x-1)^{2}} =\dfrac{2x^{2}-4x+2-x^{2}+2x}{(x-1)^{2}}=\boxed{\dfrac{x^{2}-2x+2}{(x-1)^{2}}}$$ Le numérateur a pour discriminant $\Delta=4-8=-4<0$ : il ne s'annule jamais et reste du signe de son coefficient dominant, donc strictement positif. $$\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } ]1\,;+\infty[,\ \text{sans extremum.}}$$

k) $f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}}$ sur $]0\,;+\infty[$. On pose :

$$f'(x)=\dfrac{1\times x^{2}-(x-1)\times 2x}{\left(x^{2}\right)^{2}} =\dfrac{x^{2}-2x^{2}+2x}{x^{4}}=\dfrac{x(2-x)}{x^{4}}=\boxed{\dfrac{2-x}{x^{3}}}$$ Sur $]0\,;+\infty[$, on a $x^{3}>0$ : le signe est celui de $2-x$.

$\boxed{\text{Maximum } \dfrac{1}{4} \text{ atteint en } x=2.}$

l) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ sur $]-\infty\,;0[$ : $$f'(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}}=\boxed{\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}}$$ Attention : la dérivée s'annule en $-1$ et en $1$, mais seule la valeur $-1$ appartient à l'intervalle d'étude. Sur $]-\infty\,;0[$, le facteur $x-1$ est négatif : le signe de $f'$ est l'opposé de celui de $x+1$.

$\boxed{\text{Maximum } -2 \text{ atteint en } x=-1.}$

m) $f(x)=\sqrt{x}-x$ sur $]0\,;+\infty[$ : $$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1=\dfrac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$ Le dénominateur est positif ; le numérateur s'annule lorsque $\sqrt{x}=\frac{1}{2}$, c'est-à-dire $x=\frac{1}{4}$, et il est positif avant.

$\boxed{\text{Maximum } \dfrac{1}{4} \text{ atteint en } x=\dfrac{1}{4}.}$

n) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$ sur $]0\,;+\infty[$. On pose :

$$f'(x)=\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{(x+1)^{2}} =\dfrac{\dfrac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^{2}}=\boxed{\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{2}}}$$ Le dénominateur est positif : le signe est celui de $1-x$.

$\boxed{\text{Maximum } \dfrac{1}{2} \text{ atteint en } x=1.}$