Exercice 24

a) $f'(x)=3x^{2}-6x=\boxed{3x(x-2)}$, produit dont les racines sont $0$ et $2$. Un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines :

$\boxed{\text{Maximum local } 2 \text{ en } 0 \quad;\quad \text{minimum local } -2 \text{ en } 2.}$

b) $f'(x)=6x^{2}-18x+12=\boxed{6(x-1)(x-2)}$ :

$\boxed{\text{Maximum local } 5 \text{ en } 1 \quad;\quad \text{minimum local } 4 \text{ en } 2.}$

c) $f'(x)=3x^{2}-12=\boxed{3(x-2)(x+2)}$ :

$\boxed{\text{Maximum local } 21 \text{ en } -2 \quad;\quad \text{minimum local } -11 \text{ en } 2.}$

d) $f'(x)=3x^{2}+6x+3=3(x^{2}+2x+1)=\boxed{3(x+1)^{2}}$.

Voilà la surprise : un carré est toujours positif ou nul. La dérivée s'annule en $-1$, mais sans changer de signe.

$$\boxed{f \text{ est croissante sur } \mathbb{R} \text{ tout entier et n'admet aucun extremum.}}$$ Commentaire. L'annulation de la dérivée est une condition nécessaire mais non suffisante pour un extremum : il faut de plus un changement de signe. En $x=-1$, la courbe admet une tangente horizontale, qu'elle traverse aussitôt sans changer de sens de variation.