ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Tableaux à double entrée

Exercice 4

Calcul

Une bibliothèque a enregistré $800$ emprunts sur un mois.

	Roman	Bande dessinée	Documentaire	Total
Adulte	$240$	$60$	$120$	$420$
Jeune	$100$	$210$	$70$	$380$
Total	$340$	$270$	$190$	$800$

On choisit un emprunt au hasard. On note $A$ l'événement « l'emprunteur est un adulte », $J$ l'événement contraire, et $R$ , $D$ , $B$ les événements « l'ouvrage emprunté est un roman », « un documentaire », « une bande dessinée ».

1. Calculer $P(A)$ et $P(R)$ .

2. Calculer $P_{A}(R)$ et $P_{J}(R)$ . Donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.

3. Vérifier que $P(R)=P(A)\times P_{A}(R)+P(J)\times P_{J}(R)$ .

4. Calculer $P_{R}(A)$ et interpréter par une phrase.

5. Calculer $P_{J}(B)$ et $P_{B}(J)$ .

6. Les événements $A$ et $D$ sont-ils indépendants ?

Corrigé

1. $P(A)=\dfrac{420}{800}=\boxed{0{,}525}$ et $P(R)=\dfrac{340}{800}=\boxed{0{,}425}$

2. $P_{A}(R)=\dfrac{240}{420}=\boxed{\dfrac{4}{7}}$ et $P_{J}(R)=\dfrac{100}{380}=\boxed{\dfrac{5}{19}}$

3. $P(A)\times P_{A}(R)+P(J)\times P_{J}(R) =\dfrac{21}{40}\times\dfrac{4}{7}+\dfrac{19}{40}\times\dfrac{5}{19} =\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{12+5}{40}=\dfrac{17}{40}$ $\boxed{\dfrac{17}{40}=0{,}425=P(R)}$

4. $P_{R}(A)=\dfrac{240}{340}=\boxed{\dfrac{12}{17}\approx 0{,}706}$ $\boxed{\text{Parmi les emprunts de romans, environ } 70{,}6\,\% \text{ sont le fait d'adultes.}}$

5. $P_{J}(B)=\dfrac{210}{380}=\boxed{\dfrac{21}{38}\approx 0{,}553}$ et $P_{B}(J)=\dfrac{210}{270}=\boxed{\dfrac{7}{9}\approx 0{,}778}$

6. $P(D)=\dfrac{190}{800}=0{,}2375$ et $P(A\cap D)=\dfrac{120}{800}=0{,}15$ , alors que $P(A)\times P(D)=0{,}525\times 0{,}2375\approx 0{,}1247$

\boxed{0{,}1247\neq 0{,}15 \text{ : les événements } A \text{ et } D \text{ ne sont pas indépendants.}}

Énoncé PDF, p. 2 Corrigé PDF, p. 2 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus

Thèmes

probabilité conditionnelle, tableau à double entrée, indépendance

Notions

espace probabilisé, indépendance