Exercice 17

On cherche à chaque fois le plus grand carré parfait contenu dans le nombre sous la racine :

a) $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=\boxed{5\sqrt{2}}$

b) $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\boxed{6\sqrt{2}}$

c) $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=\boxed{4\sqrt{3}}$

d) $\sqrt{98}=\sqrt{49\times 2}=\boxed{7\sqrt{2}}$

e) $\sqrt{300}=\sqrt{100\times 3}=\boxed{10\sqrt{3}}$

f) $\sqrt{147}=\sqrt{49\times 3}=\boxed{7\sqrt{3}}$

g) $\sqrt{288}=\sqrt{144\times 2}=\boxed{12\sqrt{2}}$

h) $\sqrt{500}=\sqrt{100\times 5}=\boxed{10\sqrt{5}}$

Pour les deux derniers, le plus grand carré ne se devine pas : on passe par la décomposition en facteurs premiers, en sortant chaque facteur présent en nombre pair. $$1\,008=2^{4}\times 3^{2}\times 7 \qquad\text{donc}\qquad \sqrt{1\,008}=2^{2}\times 3\times\sqrt{7}=\boxed{12\sqrt{7}}$$

$$2\,352=2^{4}\times 3\times 7^{2} \qquad\text{donc}\qquad \sqrt{2\,352}=2^{2}\times 7\times\sqrt{3}=\boxed{28\sqrt{3}}$$ Un facteur d'exposant pair sort entièrement de la racine, en divisant son exposant par $2$ ; un facteur d'exposant impair y laisse un exemplaire.