Exercice 18

On commence par simplifier chaque racine, puis on regroupe les termes semblables : $$\begin{aligned} A &= 5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(5-3+2)\sqrt{2} & &\text{d'où}\quad \boxed{A=4\sqrt{2}}\\[0.3em] B &= 3\times 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5\sqrt{3}=(6+3-5)\sqrt{3} & &\text{d'où}\quad \boxed{B=4\sqrt{3}}\\[0.3em] C &= 3\sqrt{5}+2\times 2\sqrt{5}-4\sqrt{5}=(3+4-4)\sqrt{5} & &\text{d'où}\quad \boxed{C=3\sqrt{5}}\\[0.3em] D &= 7\sqrt{2}-2\times 5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(7-10+3)\sqrt{2} & &\text{d'où}\quad \boxed{D=0} \end{aligned}$$

Pour $E$ et $F$, on décompose d'abord chaque nombre sous la racine : $$1\,008=2^{4}\times 3^{2}\times 7 \quad;\quad 112=2^{4}\times 7 \quad;\quad 343=7^{3}$$

$$\begin{aligned} E &= 2\times 12\sqrt{7}-3\times 4\sqrt{7}+7\sqrt{7}=(24-12+7)\sqrt{7} & &\text{d'où}\quad \boxed{E=19\sqrt{7}}\\[0.3em] F &= 12\sqrt{5}-7\sqrt{5}+6\sqrt{5}=(12-7+6)\sqrt{5} & &\text{d'où}\quad \boxed{F=11\sqrt{5}} \end{aligned}$$ Les trois racines de $E$ se ramènent toutes à $\sqrt{7}$, et celles de $F$ à $\sqrt{5}$ : c'est ce qui permet de regrouper les termes.