Exercice 20

1. Fausse : pour $x=-3$, on a $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$, qui est différent de $-3$. Une racine carrée est toujours positive : on a en réalité $\sqrt{x^2}=|x|$, donc l'égalité n'est vraie que pour $x\geqslant 0$.

2. Fausse : le nombre $-\sqrt{5}$ vérifie aussi $\left(-\sqrt{5}\right)^2=5$. L'équation $x^2=5$ possède deux solutions, $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$.

3. Fausse : la double distributivité donne $\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^2=3+2\sqrt{3}\times\sqrt{5}+5=8+2\sqrt{15}$. Comme $\sqrt{15}$ n'est pas un entier — car $3^2=9<15<16=4^2$ —, le résultat n'en est pas un.

4. Vraie : la racine carrée traverse les produits, donc $\sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6$. C'est un entier, bien qu'aucun des deux facteurs n'en soit un.

5. Vraie : la double distributivité donne $$\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)=5+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}-4=5-4=1$$ Les deux termes du milieu s'éliminent, et le résultat est bien un entier, alors qu'aucun des deux facteurs n'en est un.

6. Fausse : la propriété est vraie pour $a\geqslant 1$, mais fausse pour les nombres compris strictement entre $0$ et $1$. Avec $a=\dfrac{1}{4}$ : $$\sqrt{a}=\frac{1}{2} \qquad\text{alors que}\qquad a=\frac{1}{4}$$ et $\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{4}$. Prendre la racine carrée d'un nombre plus petit que $1$ l'augmente.

7. Fausse : supposons $\sqrt{a}=a$ avec $a$ positif. En élevant au carré, $a=a^2$, donc $a^2-a=0$, c'est-à-dire $a\times(a-1)=0$. Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs l'est, donc $a=0$ ou $a=1$. $$\boxed{\text{Les seuls nombres positifs vérifiant } \sqrt{a}=a \text{ sont } 0 \text{ et } 1.}$$

8. Vraie : on simplifie chaque racine avant de conclure. $$\sqrt{50}=5\sqrt{2} \qquad \sqrt{18}=3\sqrt{2} \qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

9. Vraie : les deux membres étant positifs, comparons leurs carrés. $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+b=(a+b)+2\sqrt{ab}$$ Comme $2\sqrt{ab}\geqslant 0$, ce carré est supérieur ou égal à $a+b=\left(\sqrt{a+b}\right)^2$. Deux nombres positifs étant rangés comme leurs carrés, on conclut. $$\boxed{\sqrt{a+b}\leqslant\sqrt{a}+\sqrt{b}, \text{ avec égalité si et seulement si } a=0 \text{ ou } b=0.}$$

À retenir. Les affirmations 3., 4. et 5. montrent qu'il ne faut jamais conclure sur la nature d'un nombre avant de l'avoir simplifié : $\sqrt{2}\times\sqrt{18}$ a l'air d'un nombre compliqué et vaut $6$, tandis que $\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^2$ a l'air d'un entier et n'en est pas un.