ExerciceSeconde, chapitre 1 — Nombres et calculs · Racines carrées

Exercice 21

Calcul

Développer et réduire les expressions suivantes : $A=\sqrt{3}\left(\sqrt{12}+5\right) \qquad B=2\sqrt{5}\left(3\sqrt{5}-\sqrt{20}\right) \qquad C=\sqrt{2}\left(\sqrt{8}-\sqrt{18}+3\sqrt{2}\right)$

P=\sqrt{6}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}\left(\sqrt{12}-\sqrt{3}\right) \qquad D=\left(\sqrt{2}+3\right)\left(\sqrt{8}-1\right)

E=\left(2\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+4\right) \qquad F=\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-3\right) \qquad G=\left(3\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}+2\sqrt{5}\right)

N=\left(\sqrt{5}-2\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+\sqrt{3}\right) \qquad Q=\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)

Corrigé

On utilise la distributivité, sous ses deux formes, ainsi que la règle $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ : $k(a+b)=ka+kb \qquad\text{et}\qquad (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

\begin{aligned} A &= \sqrt{3}\times\sqrt{12}+\sqrt{3}\times 5=\sqrt{36}+5\sqrt{3} & &\text{d'où}\quad \boxed{A=6+5\sqrt{3}}\\[0.4em] B &= 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}-2\sqrt{5}\times\sqrt{20}=6\times 5-2\sqrt{100}=30-20 & &\text{d'où}\quad \boxed{B=10}\\[0.4em] C &= \sqrt{16}-\sqrt{36}+3\times 2=4-6+6 & &\text{d'où}\quad \boxed{C=4}\\[0.4em] P &= \sqrt{18}+\sqrt{12}-\left(\sqrt{24}-\sqrt{6}\right)=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{6}+\sqrt{6} & &\text{d'où}\quad \boxed{P=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}}\\[0.4em] D &= \sqrt{2}\times\sqrt{8}-\sqrt{2}+3\sqrt{8}-3=\sqrt{16}-\sqrt{2}+3\times 2\sqrt{2}-3\\ &= 4-\sqrt{2}+6\sqrt{2}-3 & &\text{d'où}\quad \boxed{D=1+5\sqrt{2}}\\[0.4em] E &= 2\sqrt{3}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}\times 4-\sqrt{3}-4=2\times 3+8\sqrt{3}-\sqrt{3}-4\\ &= 6+7\sqrt{3}-4 & &\text{d'où}\quad \boxed{E=2+7\sqrt{3}}\\[0.4em] F &= 5-3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-6 & &\text{d'où}\quad \boxed{F=-1-\sqrt{5}}\\[0.4em] G &= 3\times 2+6\sqrt{10}-\sqrt{10}-2\times 5=6+5\sqrt{10}-10 & &\text{d'où}\quad \boxed{G=-4+5\sqrt{10}}\\[0.4em] N &= 2\times 5+\sqrt{15}-4\sqrt{15}-2\times 3=10-3\sqrt{15}-6 & &\text{d'où}\quad \boxed{N=4-3\sqrt{15}}\\[0.4em] Q &= 2\times 3-\sqrt{6}+4\sqrt{6}-2\times 2=6+3\sqrt{6}-4 & &\text{d'où}\quad \boxed{Q=2+3\sqrt{6}} \end{aligned}

Pour $B$ , on prendra garde au signe : le facteur $2\sqrt{5}$ multiplie les deux termes de la parenthèse, y compris celui qui est précédé du signe moins. Pour $P$ , le signe moins devant la seconde parenthèse change les deux signes qu'elle contient.

Dans $G$ , $N$ et $Q$ , les quatre produits font intervenir des coefficients devant les racines : on multiplie séparément les nombres et les racines, par exemple $3\sqrt{2}\times 2\sqrt{5}=6\sqrt{10}$ .

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Racine carrée d'un réel positif

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