ExerciceSeconde, chapitre 1 — Nombres et calculs · Racines carrées

Exercice 22

Calcul

Développer et réduire les expressions suivantes : $H=\left(1+\sqrt{2}\right)^2 \qquad I=\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right) \qquad J=\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)$

K=\left(\sqrt{3}+1\right)^2-\left(\sqrt{3}-1\right)^2 \qquad L=\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{5}+2\right)

M=\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2+\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2

Corrigé

Un carré est un produit : $\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)$ , et l'on développe donc encore par double distributivité.

\begin{aligned} H &= 1\times 1+1\times\sqrt{2}+\sqrt{2}\times 1+\sqrt{2}\times\sqrt{2}=1+\sqrt{2}+\sqrt{2}+2 & &\text{d'où}\quad \boxed{H=3+2\sqrt{2}}\\[0.4em] I &= 9+3\sqrt{5}-3\sqrt{5}-5 & &\text{d'où}\quad \boxed{I=4}\\[0.4em] J &= 7-\sqrt{14}+\sqrt{14}-2 & &\text{d'où}\quad \boxed{J=5} \end{aligned}

Dans $I$ et $J$ , les deux termes du milieu s'éliminent : le résultat est un entier, alors que les deux facteurs contenaient des racines.

Pour les trois dernières expressions, on développe chaque morceau séparément avant de réduire.

\begin{aligned} K &= \left(4+2\sqrt{3}\right)-\left(4-2\sqrt{3}\right)=4+2\sqrt{3}-4+2\sqrt{3} & &\text{d'où}\quad \boxed{K=4\sqrt{3}}\\[0.4em] L &= \underbrace{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}_{=\,2-1\,=\,1}\times\left(\sqrt{5}+2\right) & &\text{d'où}\quad \boxed{L=\sqrt{5}+2}\\[0.4em] M &= \left(12-4\sqrt{6}+2\right)+\left(12+4\sqrt{6}+2\right)=14-4\sqrt{6}+14+4\sqrt{6} & &\text{d'où}\quad \boxed{M=28} \end{aligned}

Dans $K$ et $M$ , les termes en $\sqrt{3}$ et en $\sqrt{6}$ se simplifient entre eux à la fin. Dans $L$ , le produit des deux premiers facteurs vaut $1$ : il ne reste plus rien à développer.

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Racine carrée d'un réel positif

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