Exercice 23

1. On multiplie le numérateur et le dénominateur par la racine présente au dénominateur : $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \qquad ; \qquad \frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2\times 5}=\frac{5\sqrt{5}}{10}$$

2. On développe le produit par double distributivité : $$\begin{aligned} \left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right) &= 1\times\sqrt{2}-1\times 1+\sqrt{2}\times\sqrt{2}-\sqrt{2}\times 1\\ &= \sqrt{2}-1+2-\sqrt{2} \end{aligned}$$

3. D'après la question précédente, multiplier par $\left(\sqrt{2}-1\right)$ fait disparaître la racine du dénominateur : $$\frac{2}{1+\sqrt{2}}=\frac{2\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)} =\frac{2\left(\sqrt{2}-1\right)}{1} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{2}{1+\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-2}$$ On procède de même en multipliant par $\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)$ : en développant le nouveau dénominateur, les deux termes du milieu s'éliminent. $$\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right) =5+\sqrt{10}-\sqrt{10}-2=3$$