Exercice 24

1. On extrait le plus grand carré parfait : $$\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=\boxed{5\sqrt{2}}$$

2. Le périmètre d'un rectangle vaut $2\times(\text{longueur}+\text{largeur})$ : $$P=2\left(5\sqrt{2}+2\sqrt{2}\right)=2\times 7\sqrt{2}$$

3. L'aire vaut le produit de la longueur par la largeur : $$\mathcal{A}=5\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=10\times\left(\sqrt{2}\right)^2=10\times 2$$

$$\boxed{\mathcal{A}=20\;\text{cm}^2}$$ On remarque que, bien que les deux côtés s'écrivent à l'aide de racines carrées, l'aire est un nombre entier.

4. Le triangle $ABC$ étant rectangle en $B$, le théorème de Pythagore donne : $$AC^2=AB^2+BC^2=\left(5\sqrt{2}\right)^2+\left(2\sqrt{2}\right)^2=50+8=58$$ Or $58=2\times 29$ ne contient aucun carré parfait autre que $1$ : $$\boxed{AC=\sqrt{58}\;\text{cm}\approx 7{,}6\;\text{cm}}$$