Exercice 32

1. Les deux entiers suivants sont $\boxed{n+1\text{ et }n+2}$

2. On développe : $$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$$

$$\boxed{(n+1)^2-n^2=2n+1\text{, qui est un nombre impair}}$$ En effet $2n$ est pair, donc $2n+1$ est impair.

3. La somme des deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ vaut : $$n+(n+1)=2n+1$$ On reconnaît le résultat de la question précédente, d'où : $$\boxed{(n+1)^2-n^2=n+(n+1)}$$ La différence des carrés de deux entiers consécutifs est donc toujours égale à leur somme.

4. La somme de trois entiers consécutifs s'écrit : $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$$ Comme $n+1$ est un entier, ce nombre est bien un multiple de $3$ : $$\boxed{n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)}$$

5. On développe les deux carrés : $$(n+1)^2-(n-1)^2=\left(n^2+2n+1\right)-\left(n^2-2n+1\right)=4n$$

$$\boxed{(n+1)^2-(n-1)^2=4n}$$ La différence des carrés de deux entiers séparés par un troisième est donc toujours un multiple de $4$, égal au quadruple de l'entier du milieu.