Exercice 31

1. On développe le carré, puis on réduit : $$f(x)=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2-4=4x^2-12x+9-4$$

2. On reconnaît une différence de deux carrés, avec $a=2x-3$ et $b=2$ : $$f(x)=(2x-3)^2-2^2=\big[(2x-3)+2\big]\big[(2x-3)-2\big]$$

3. Pour $x=0$, la forme développée est immédiate ; pour $x=\dfrac{3}{2}$, c'est l'écriture de départ qui l'est, puisque la parenthèse s'annule : $$f(0)=5 \qquad ; \qquad f\left(\frac{3}{2}\right)=(3-3)^2-4=0-4$$

4. Avec la forme factorisée : $$f\left(\frac{1}{2}\right)=(1-1)(1-5)=0\times(-4) \qquad ; \qquad f\left(\frac{5}{2}\right)=(5-1)(5-5)=4\times 0$$

$$\boxed{f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{5}{2}\right)=0}$$ Pour chacune de ces deux valeurs, l'un des deux facteurs s'annule, donc le produit est nul.

5. Avec la forme développée : $$f\left(\frac{1}{2}\right)=4\times\frac{1}{4}-12\times\frac{1}{2}+5=1-6+5=0$$

$$f\left(\frac{5}{2}\right)=4\times\frac{25}{4}-12\times\frac{5}{2}+5=25-30+5=0$$ ce qui confirme les résultats précédents, au prix de calculs nettement plus longs.